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同構(編程中的數學)

  • 作者：編者:劉新宇|責編:李永泉
  • 出版社：機械工業
  • ISBN：9787111725640
  • 出版日期：2023/06/01
  • 裝幀：平裝
  • 頁數：298
人民幣：RMB 89 元      售價：元
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內容大鋼
    本書從七個方面介紹了電腦程序的數學基礎和原理，並以「同構」概念為線索揭示出編程本質上是和數學同構的。這七個方面分別是：數字、遞歸、對稱、範疇、融合、無窮、悖論。第1章「數字」介紹皮亞諾算術公理系統。通過5條公理，構築了電腦程序大廈的基石。通過單向鏈表，斐波那契數列等例子，展示了和自然數同構的計算結構。第2章介紹遞歸。通過歐幾里得演算法作為開端，把遞歸的數學原理構建在Lambda演算和Y組合子之上。第3章通過對稱介紹群、環、域等抽象代數結構，並解釋伽羅瓦理論這一抽象思維的明珠。第4章介紹範疇論。把列表、異常、多態、類型系統、複合數據結構等眾多編程概念構築在範疇論的基礎上。第5章介紹融合律。它是進行演算法推導和優化的有力工具。第6章介紹無窮。給出了康托爾的無窮集合論和超限數概念，介紹了編程中流的概念和無窮的關係。第7章以羅素悖論、可計算性和哥德爾不完全性定理結束本書。介紹了計算能力的邊界和對編程基礎哲學的影響。
作者介紹
編者:劉新宇|責編:李永泉
    劉新宇，亞馬遜中國研發中心研發經理，負責分散式倉儲物流系統的開發。1999年和2002年在清華大學自動化系分別獲得學士和碩士學位。長期專註于函數式基礎演算法，著有《演算法新解》一書（2017年出版）。
目錄
第1章  數字
  1.1  數的誕生
  1.2  皮亞諾自然數公理
  1.3  自然數和電腦程序
  1.4  自然數的結構
  1.5  自然數的同構
  1.6  形式與結構
第2章  遞歸
  2.1  萬物皆數
  2.2  歐幾里得演算法
    2.2.1  歐幾里得和《幾何原本》
    2.2.2  歐幾里得演算法概述
    2.2.3  擴展歐幾里得演算法
    2.2.4  歐幾里得演算法的意義
  2.3  λ演算
    2.3.1  表達式化簡
    2.3.2  λ抽象
    2.3.3  λ變換規則
  2.4  遞歸的定義
  2.5  λ演算的意義
  2.6  更多的遞歸結構
  2.7  遞歸的形式與結構
  2.8  附錄：倒水趣題完整程序
第3章  對稱
  3.1  什麼是對稱
  3.2  群
    3.2.1  群的定義
    3.2.2  ?半群與半群
    3.2.3  群的性質
    3.2.4  置換群
    3.2.5  群與對稱
    3.2.6  旋轉對稱與循環群
    3.2.7  分圓方程
    3.2.8  子群
    3.2.9  拉格朗日定理
  3.3  環與域
    3.3.1  環的定義
    3.3.2  除環和域
  3.4  伽羅瓦理論
    3.4.1  擴域
    3.4.2  從牛頓、拉格朗日到伽羅瓦
    3.4.3  自同構和伽羅瓦群
    3.4.4  伽羅瓦基本定理
    3.4.5  可解性
  3.5  附錄：伽羅瓦群
第4章  範疇
  4.1  範疇概述
    4.1.1  範疇的例子
    4.1.2  箭頭≠函數
  4.2  函子

    4.2.1  函子的定義
    4.2.2  函子的例子
  4.3  積與和
    4.3.1  積與和的定義
    4.3.2  積與和的性質
    4.3.3  積與和作為函子
  4.4  自然變換
    4.4.1  自然變換的例子
    4.4.2  自然同構
  4.5  數據類型
    4.5.1  起始對象和終止對象
    4.5.2  冪
    4.5.3  笛卡兒閉和對象算術
    4.5.4  多項式函子
    4.5.5  F-代數
  4.6  小結
  4.7  擴展閱讀
  4.8  附錄：例子代碼
第5章  融合
  5.1  疊加-構建的融合
    5.1.1  列表的疊加操作
    5.1.2  疊加-構建融合律
    5.1.3  列表的構建形式
    5.1.4  使用融合律化簡
    5.1.5  類型限制
    5.1.6  用範疇論推導融合律
  5.2  巧算100
    5.2.1  窮舉法
    5.2.2  改進
  5.3  小結和擴展閱讀
  5.4  附錄：巧算100問題的代碼
第6章  無窮
  6.1  無窮概念的提出
    6.1.1  無窮的哲學
    6.1.2  窮竭法與微積分
  6.2  潛無窮與編程
  6.3  實無窮的思考
    6.3.1  無窮王國的花園
    6.3.2  一一對應與無窮集合
    6.3.3  可數無窮與不可數無窮
    6.3.4  戴德金分割
    6.3.5  超限數和連續統假設
  6.4  無窮與藝術
  6.5  附錄：例子代碼
  6.6  附錄：康托爾定理的證明
  6.7  附錄：巴赫《音樂的奉獻》無限上升的卡農
第7章  悖論
  7.1  計算的邊界
  7.2  羅素悖論
  7.3  數學基礎的分歧

    7.3.1  邏輯主義
    7.3.2  直覺主義
    7.3.3  形式主義
    7.3.4  公理集合論
  7.4  哥德爾不完全性定理
  7.5  不完全性定理的證明
    7.5.1  構建形式系統
    7.5.2  哥德爾配數
    7.5.3  構造自我指涉
  7.6  萬能的程序與對角線證明
  7.7  尾聲
附錄
  加法交換律的證明
  積與和的唯一性
  集合的笛卡兒積和不相交並集構成積與和的證明
參考答案
參考文獻

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