內容大鋼
本書共分六章。第一章「線性代數概要」不僅總結了線性代數的主要知識，還增加了矩陣的張量積與求解矛盾方程的最小二乘法（LSM）等內容。第二章「線性空間與線性變換」討論了線性空間與線性變換的結構和構造方法，以及有限維線性空間與n維向量空間的關係、線性變換與矩陣的關係，特彆強調了線性空間的商空間和張量積以及內積空間與等距變換。第三章「Jordan標準形與特徵值問題」證明了Schur三角化定理，並利用冪零矩陣給出了Jordan標準形定理的一個簡潔證明，同時討論了特徵值估計的蓋爾圓盤定理，並介紹了特徵值與特徵向量的一些應用。第四章「矩陣分解與應用」介紹了幾種重要的矩陣分解方法及其應用，特彆強調了奇異值分解（SVD）的應用。第五章「賦范線性空間與矩陣微積分」介紹了如何在線性空間中引入度量（范數），並由此導入矩陣微積分及其應用。第六章「廣義逆矩陣與非負矩陣」介紹了幾種常用的廣義逆與非負矩陣的Perron-Frobenius定理及其應用。
書後附有參考文獻和漢英術語索引，便於讀者查詢。
本書是為上海交通大學非數學類研究生編寫的通用教材，同時也可供高校理工科高年級本科生以及從事教學、科研等工作的人員參考。
目錄
主要符號表
第一章 線性代數概要
本章提要
第一節 矩陣運算
1.1.1 線性組合與矩陣乘法
1.1.2 數字特徵與分塊矩陣
1.1.3 張量積與線性矩陣方程
第二節 矩陣與線性方程組
1.2.1 相容線性方程組與矩陣子空間
1.2.2 矛盾方程組與最小二乘法
1.2.3 正交化方法與投影矩陣
第三節 相似對角化與特徵值
1.3.1 線性微分方程組與相似對角化
1.3.2 特徵值與特徵向量
1.3.3 正交對角化與二次型
第四節 應用
1.4.1 圖與矩陣
1.4.2 隨機變數的獨立性
1.4.3 曲線擬合
1.4.4 華為核心技術極化碼
習題一
第二章 線性空間與線性變換
本章提要
第一節 線性空間
2.1.1 定義與例子
2.1.2 基、維數、坐標
2.1.3 線性空間的同構
2.1.4 過渡矩陣與坐標變換
第二節 子空間、直和分解與分塊矩陣
2.2.1 子空間
2.2.2 子空間的運算：交、和與直和
2.2.3 直和分解與分塊矩陣
第三節 線性變換與矩陣
2.3.1 線性變換的定義與例子
2.3.2 線性變換的核與像
2.3.3 線性變換的矩陣
第四節 線性代數基本定理
第五節 內積空間、投影與等距變換
2.5.1 內積與長度
2.5.2 內積與正定矩陣
2.5.3 正交補與投影
2.5.4 酉矩陣與等距變換
第六節 張量積
2.6.1 線性空間的（外）直和
2.6.2 線性空間的張量積
2.6.3 線性變換的張量積
2.6.4 實線性空間與複線性空間的轉化
第七節 商空間
2.7.1 等價關係
2.7.2 商空間與張量積
第八節 應用
2.8.1 廣義相對論
2.8.2 濾波與移動通信
2.8.3 度量與任意矩陣的行列式
習題二
第三章 Jordan標準形與特徵值問題
本章提要
第一節 Schur三角化定理
3.1.1 Schur酉三角化定理
3.1.2 分塊Schur三角化定理
3.1.3 酉三角化定理
第二節 Jordan標準形
3.2.1 冪零矩陣的Jordan標準形
3.2.2 Jordan標準形定理
3.2.3 中國剩餘定理與Jordan-Chevalley分解
第三節 Jordan標準形的其他理論
3.3.1 λ矩陣
3.3.2 廣義特徵子空間
第四節 特徵值估計
3.4.1 蓋爾圓盤定理
3.4.2 特徵值的極值與不等式
第五節 應用
3.5.1 隨機矩陣
3.5.2 PageRank演算法
習題三
第四章 矩陣分解與應用
本章提要
第一節 正規矩陣與譜分解
4.1.1 正規矩陣
4.1.2 正規矩陣的譜分解
4.1.3 單純矩陣的譜分解
第二節 三角分解與Cholesky分解
4.2.1 三角分解
4.2.2 Cholesky分解
第三節 QR分解
第四節 奇異值分解與極分解
4.4.1 奇異值分解
4.4.2 極分解
第五節 應用
4.5.1 QR分解的應用
4.5.2 奇異值分解的應用
習題四
第五章 賦范線性空間與矩陣微積分
本章提要
第一節 賦范線性空間
5.1.1 賦范線性空間
5.1.2 單位球與范數的等價
第二節 賦范矩陣空間
第三節 矩陣級數與矩陣函數
5.3.1 矩陣的冪收斂
5.3.2 矩陣級數
5.3.3 矩陣函數
第四節 一元矩陣函數的微積分
5.4.1 定義與基本性質
5.4.2 一元矩陣函數的計算
第五節 多元矩陣函數的導數
5.5.1 多元矩陣函數的導數與Jacobian行列式
5.5.2 多元矩陣函數導數的應用
第六節 應用I：范數與矩陣近似
5.6.1 低秩近似與Schmidt-Eckart-Young-Mirsky定理
5.6.2 核范數與矩陣完備化
第七節 應用II：矩陣函數的導數與常微分方程組
5.7.1 線性常微分方程組
5.7.2 線性系統的可控性與可測性
習題五
第六章 廣義逆矩陣與非負矩陣
本章提要
第一節 廣義逆矩陣
6.1.1 Moore-Penrose廣義逆
6.1.2 Moore-Penrose廣義逆的計算
第二節 其他各類廣義逆
6.2.1 {1}逆
6.2.2 {(1,k)}逆，k=2,3,4
第三節 非負矩陣與Perron-Frobenius定理
6.3.1 Perron-Frob
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