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近世代數基礎(普通高等教育數學類專業系列教材)

  • 作者：編者:馬月娜|責編:田華
  • 出版社：西安交大
  • ISBN：9787569343052
  • 出版日期：2026/01/01
  • 裝幀：平裝
  • 頁數：151
人民幣：RMB 28 元      售價：元
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內容大鋼
    全書共分為4章，遵循由淺入深、循序漸進的認知邏輯展開。
    第1章以集合論為起點，系統介紹集合、映射、二元關係等基礎性概念。通過引入等價關係、偏序關係等定義，闡明代數結構研究的邏輯起點與形式化方法，同時以數論、幾何等經典領域的問題為背景，揭示抽象概念背後的實際應用場景，幫助讀者建立從具體到抽象的思維躍遷。
    第2章在群論的核心架構下，依次展開群與子群的基本性質、群同態與同構的基本定理以及群作用理論。在呈現凱萊（Cayley）定理、同態基本定理等核心結論的同時，通過對稱群、循環群等典型例子闡釋群的結構特徵，從群對集合作用的視角，將群論與組合計數、幾何對稱等問題相聯繫，凸顯群論在刻畫對稱性與分類問題中的強大效能。
    第3章圍繞環論體系，詳細討論環、子環、理想與商環的代數性質，深入分析整環的因子分解理論。通過多項式環、矩陣環等特例，展現環結構中加法與乘法運算的特徵規律，最後以不可約多項式的判定與因式分解問題為切入點，揭示環論在代數方程求解等經典問題中的深層應用。
    第4章以域的擴張理論為核心，依次介紹域的基本概念、代數擴張與超越擴張的分類、有限域的結構定理等內容。通過分析有限域的乘法群結構等過程，展現域論在編碼理論等領域的關鍵作用，特別是有限域的理論成果，為現代密碼學中的密鑰生成、數據加密等技術提供了堅實的數學基礎。
作者介紹
編者:馬月娜|責編:田華
目錄
第1章  緒論
  1.1  引言
    1.1.1  背景
    1.1.2  應用舉例
  1.2  基礎知識
    1.2.1  集合的概念
    1.2.2  映射的概念
    1.2.3  二元關係
    1.2.4  整數與同余方程
    習題
第2章  群
  2.1  群與子群
    2.1.1  群的概念
    2.1.2  子群
    習題
  2.2  一些特殊的群
    2.2.1  循環群和生成群
    2.2.2  循環群的性質
    2.2.3  變換群和置換群
    2.2.4  置換的對換分解
    2.2.5  置換的奇偶性
    2.2.6  置換類型
    習題
  2.3  一些特殊的子群
    2.3.1  子群的陪集
    2.3.2  子群的指數和拉格朗日定理
    2.3.3  正規子群和商群
    2.3.4  共軛元和共軛子群
    習題
  2.4  群的同構與同態
    2.4.1  群的同構
    2.4.2  群的同態
    2.4.3  同態基本定理
    2.4.4  有關同態的定理
    2.4.5  自同態與自同構
    習題
  2.5  群對集合的作用
    2.5.1  基本概念
    2.5.2  軌道與穩定子群
    2.5.3  有限群的結構與西羅定理
    習題
    拓展閱讀——群論演化三部曲
第3章  環
  3.1  環的定義和基本性質
    3.1.1  環的定義
    3.1.2  環內一些特殊元素和性質
    3.1.3  環的分類
    3.1.4  環的單位群
  3.2  子環、理想和商環
    3.2.1  子環

    3.2.2  環內子集的運算
    3.2.3  理想
    3.2.4  生成子環和生成理想
    3.2.5  商環
    3.2.6  商環和理想的關係
    習題
  3.3  環的同態與同構
    3.3.1  基本概念
    3.3.2  有關同態的一些定理
    3.3.3  同態定理的應用——分式域
    習題
  3.4  整環中的因子分解
    3.4.1  引言
    3.4.2  基本概念
    3.4.3  既約元和素元
    3.4.4  最大公因子
    3.4.5  不可約元
    習題
  3.5  唯一分解整環
    3.5.1  唯一分解整環及其性質
    3.5.2  主理想整環
    3.5.3  歐氏整環
    習題
  3.6  多項式分解問題
    3.6.1  本原多項式及其性質
    3.6.2  D[x]的分解性質
    3.6.3  多項式可約性的判斷
    習題
    拓展閱讀——環論:從數論基石到現代數學的通用語言
第4章  域
  4.1  域的基本概念
    4.1.1  域的定義
    4.1.2  域的特徵和素域
    習題
  4.2  域的擴張
    4.2.1  擴域的基本概念
    4.2.2  擴域的次數
    習題
  4.3  有限域
    4.3.1  有限域的構造
    4.3.2  有限域的子域
    4.3.3  有限域的自同構群
    4.3.4  有限域上的元素和多項式的性質
    4.3.5  有限域與根的關係
    習題
  4.4  有限域的結構
    4.4.1  有限域的加法結構
    4.4.2  有限域的乘法結構
    習題
  4.5  有限域上的多項式

    4.5.1  多項式的基本概念
    4.5.2  最小多項式
    4.5.3  本原多項式
    4.5.4  單位根與分圓問題
    習題
    拓展閱讀——域論:從方程可解性到數學統一性的橋樑
參考文獻

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