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偏微分方程及其數值解法

  • 作者：編者:段獻葆//沈曉芹//文娟|責編:高旭
  • 出版社：高等教育
  • ISBN：9787040641813
  • 出版日期：2025/10/01
  • 裝幀：平裝
  • 頁數：430
人民幣：RMB 72 元      售價：元
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內容大鋼
    本書介紹了偏微分方程的基本概念，通過生動的物理和工程實例展示了如何從實際問題中抽象出偏微分方程模型，如波動方程、熱傳導方程、流體力學方程組等；詳細介紹了幾種經典的解析求解方法，包括分離變數法、行波法、積分變換法和Green函數法等；並給出了求解三類典型方程的兩種主要數值求解方法——有限差分方法和有限元方法，概述了數值方法的基本框架，包括離散化原理、誤差估計、收斂性分析等關鍵概念，每種方法均輔以具體的算例和編程實踐，可以幫助讀者掌握數值求解偏微分方程的實際操作過程。
    本書不僅可以作為數學、力學、物理及相關工程專業高年級本科生和研究生關於偏微分方程理論和數值求解方法的教材，也是一本引導讀者深入探索未知領域的指南。
作者介紹
編者:段獻葆//沈曉芹//文娟|責編:高旭
目錄
第1章  緒論
  1.1  偏微分方程介紹
    1.1.1  基本概念
    1.1.2  幾類典型的偏微分方程（組）
  1.2  疊加原理
    1.2.1  線性運算元
    1.2.2  疊加原理
  1.3  二階線性偏微分方程的分類與化簡
    1.3.1  兩個自變數的二階線性偏微分方程的分類
    1.3.2  兩個自變數的二階線性偏微分方程的化簡
    1.3.3  兩個自變數二階常係數方程
    1.3.4  通解
  1.4  常微分方程及差分方法
    1.4.1  一階常微分方程
    1.4.2  二階常係數線性常微分方程
    1.4.3  二階常微分方程邊值問題解的先驗估計
    1.4.4  一階常微分方程的數值解法
    1.4.5  二階常微分方程邊值問題的差分方法
  1.5  變分法
    1.5.1  極小位能原理
    1.5.2  用變分法求解弦平衡變分問題
    1.5.3  虛功原理
    1.5.4  應用：兩點邊值問題及其等價的變分形式
    1.5.5  Ritz-Galerkin方法
  1.6  有限元方法
  第1章練習
第2章  橢圓型方程
  2.1  方程的導出、定解條件
    2.1.1  方程的導出
    2.1.2  定解條件
  2.2  Green公式及其應用
    2.2.1  基本解、Green公式
    2.2.2  調和函數的積分表達式
    2.2.3  調和函數的基本性質Ⅰ
  2.3  Green函數及其應用
    2.3.1  Green函數
    2.3.2  半空間的Green函數及Dirichlet問題
    2.3.3  球域的Green函數及Dirichlet問題
    2.3.4  調和函數的基本性質Ⅱ
  2.4  Poisson方程的求解與先驗估計
    2.4.1  試探法
    2.4.2  Poisson方程的求解
    2.4.3  Poisson方程解的先驗估計
  2.5  橢圓型方程的數值求解方法
    2.5.1  五點差分格式
    2.5.2  差分格式的性質
    2.5.3  九點緊差分格式
    2.5.4  邊值條件的處理
    2.5.5  求解橢圓型方程的有限元方法
  第2章練習

第3章  拋物型方程
  3.1  方程的導出、定解條件
    3.1.1  方程的導出
    3.1.2  定解條件
  3.2  拋物型方程的初邊值問題——分離變數法
    3.2.1  有限長桿的熱傳導問題
    3.2.2  非齊次方程——有限長桿的導熱問題（有熱源）
    3.2.3  具有非齊次邊值條件的問題
  3.3  拋物型方程的初值問題——積分變換法
    3.3.1  Fourier積分變換
    3.3.2  Laplace變換
    3.3.3  積分變換法應用舉例
  3.4  拋物型方程的數值解法
    3.4.1  非定常問題差分方法的一般理論
    3.4.2  一維問題的差分方法
    3.4.3  高精度演算法
    3.4.4  高維拋物型方程的差分方法
    3.4.5  熱傳導方程的有限元方法
  第3章練習
第4章  雙曲型方程
  4.1  波動方程與定解條件
  4.2  波動方程的Cauchy問題
  4.3  弦振動方程的初邊值問題
    4.3.1  分離變數法
    4.3.2  分離變數法的物理意義——駐波法
    4.3.3  非齊次方程的求解
    4.3.4  非齊次邊值條件問題
  4.4  雙曲型方程古典解的性質
    4.4.1  振動的動能和位能
    4.4.2  初邊值問題解的唯一性與穩定性
    4.4.3  Cauchy問題解的唯一性與穩定性
  4.5  雙曲型偏微分方程的數值求解方法
    4.5.1  一階雙曲型方程的差分方法
    4.5.2  二階雙曲型方程的顯式差分法
    4.5.3  二階雙曲型方程的隱式差分法
    4.5.4  二階雙曲型方程的緊差分方法
    4.5.5  二維雙曲型方程的交替方向隱格式
    4.5.6  雙曲型方程的有限元解法
  第4章練習
附錄一  場論基礎
附錄二  理想流體力學方程組的推導
附錄三  Fourier變換簡表
附錄四  Laplace變換簡表
參考文獻

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