內容大鋼
本書講述了偏微分方程的基本概念、發展歷史和研究方法；給出了典型方程的物理背景和模型建立；介紹了波動方程、熱傳導方程、位勢方程和一階方程定解問題的主要解法和適定性，包括分離變數法、積分變換、能量積分、先驗估計和變分法等重要內容。各章都配有許多習題，且第2章至第6章單獨設置了「例題與方法選講」一節，方便學有餘力讀者的進一步提高。本書論證及計算過程完整，難易層次分明，力求簡明易讀，可作為高等學校數學專業本科生偏微分方程的教材、理工科本科生和研究生數學物理方程的教材，適合不同層次院校的學生學習，也可供自學者參考。讀者具有數學分析、常微分方程等知識即可學習本書。略去選講的材料，64課時可以基本講完全書。
目錄
第1章 引言
§1.1 偏微分方程的定義與典型實例
1.1.1 偏微分方程的定義
1.1.2 偏微分方程的典型實例
§1.2 偏微分方程的發展歷史
1.2.1 18世紀的偏微分方程
1.2.2 19世紀的偏微分方程
1.2.3 20世紀的偏微分方程
1.2.4 中國偏微分方程的早期工作
§1.3 偏微分方程的研究方法
1.3.1 求通解
1.3.2 求通解的終結
1.3.3 求特解
1.3.4 解的定性研究
§1.4 偏微分方程的基本概念
1.4.1 多重指標
1.4.2 方程的階與線性性
1.4.3 方程的解與定解問題
§1.5 各章節內容簡介
§1.6 習題1
第2章 方程的導出、化簡與分類
§2.1 波動方程的導出及其定解問題
§2.2 熱傳導方程的導出及其定解問題
§2.3 位勢方程的導出及其定解問題
§2.4 二元二階線性方程的化簡與分類
2.4.1 方程的化簡
2.4.2 方程的分類
§2.5 例題與方法選講
§2.6 習題2
第3章 雙曲型方程
§3.1 解一維波動方程的達朗貝爾法
3.1.1 無界弦的自由振動方程
3.1.2 半無界弦的自由振動方程
3.1.3 弦強迫振動方程
§3.2 解高維波動方程的球面平均法
3.2.1 高維波動方程的柯西問題
3.2.2 依賴區域、決定區域和影響區域
§3.3 解波動方程混合問題的分離變數法
3.3.1 具狄利克雷邊界條件的弦自由振動方程的混合問題
3.3.2 具紐曼邊界條件的弦自由振動方程的混合問題
3.3.3 非齊次問題的解法
3.3.4 高維波動方程的混合問題
§3.4 波動方程解的唯一性和穩定性
3.4.1 能量積分與混合問題解的唯一性和穩定性
3.4.2 柯西問題解的唯一性和穩定性
§3.5 例題與方法選講
3.5.1 具羅賓邊界條件的弦自由振動方程的混合問題
3.5.2 圓域上薄膜自由振動方程混合問題與貝塞爾函數
3.5.3 特徵線法
3.5.4 廣義柯西問題
§3.6 習題3
第4章 拋物型方程
§4.1 傅里葉積分變換
4.1.1 傅里葉積分公式與傅里葉積分變換
4.1.2 傅里葉積分變換的性質
4.1.3 舉例
§4.2 熱傳導方程的柯西問題
4.2.1 泊松公式
4.2.2 熱傳導方程柯西問題解的存在性
§4.3 熱傳導方程的混合問題
§4.4 極值原理與定解問題的適定性
4.4.1 極值原理
4.4.2 第一邊值問題解的最大模估計與適定性
4.4.3 第二、第三邊值問題解的最大模估計與適定性
4.4.4 柯西問題解的適定性
§4.5 例題與方法選講
4.5.1 多元函數的傅里葉變換
4.5.2 圓域上熱傳導方程混合問題
4.5.3 拉普拉斯變換
§4.6 習題4
第5章 橢圓型方程
§5.1 極值原理與最大模估計
5.1.1 極值原理及其推論
5.1.2 定解問題解的最大模估計與適定性
5.1.3 調和方程的外問題
§5.2 調和方程的格林函數
5.2.1 調和方程的基本解
5.2.2 格林公式
5.2.3 格林函數
5.2.4 球上的格林函數與泊松公式
5.2.5 半空間上的格林函數與泊松公式
§5.3 調和函數的性質
§5.4 牛頓位勢與泊松方程
§5.5 佩龍方法
§5.6 例題與方法選講
5.6.1 特殊區域上格林函數舉例
5.6.2 哈納克不等式的應用
5.6.3 先驗估計的應用點滴
§5.7 習題5
第6章 一階偏微分方程與柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理
§6.1 一階擬線性偏微分方程
6.1.1 特徵方程組與特徵線
6.1.2 一階擬線性偏微分方程的柯西問題
6.1.3 舉例
§6.2 一階完全非線性偏微分方程
6.2.1 特徵方程組與特徵帶
6.2.2 一階完全非線性偏微分方程的柯西問題
§6.3 實解析函數
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