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微分幾何(數學領域101計劃核心教材)

作者：編者:來米加|責編:尹照原
出版社：北京大學
ISBN：9787301357576

出版日期：2025/08/01
裝幀：平裝
頁數：156

人民幣：RMB 35 元售價：元

內容大鋼

本書系統闡述微分幾何的基礎理論與核心內容，分為三大知識模塊：曲線與曲面的局部理論、曲面內蘊幾何學，以及微分流形初步。第一部分以三維歐氏空間的曲線曲面論為起點，系統講解曲線的曲率，撓率，Frenet標架，以及曲面的第一、第二基本形式，Gauss曲率，平均曲率等核心概念，最終以Fary-Milnor定理作為升華；第二部分通過Gauss絕妙定理引出內蘊幾何學，深入探討協變導數、平行移動、測地線、指數映射等核心概念，並系統介紹Gauss-Bonnet公式、Hopf-Rinow定理、常曲率空間分類，以及帶符號曲率曲面的拓撲等整體微分幾何經典結果；第三部分介紹微分流形基礎理論，精要講解切空間、向量場、分佈、微分形式等核心概念，以de Rham定理和Hodge定理作為理論高點。
全書注重幾何直觀，留白一些常規證明，為讀者後續學習現代Riemann幾何構建堅實基礎，並啟發更深入的思考。本書可作為數學、理論物理等專業本科生及研究生的入門教材，也可供相關科研工作者參考使用。

作者介紹

編者:來米加|責編:尹照原

第一章  曲線和曲面的局部理論
  1.1  空間曲線理論
  1.2  曲面
  1.3  Gauss映射及其微分
  1.4  第二基本形式之代數
  1.5  第二基本形式之幾何
  1.6  曲率之局部坐標計算
  1.7  Gauss映射像的面積
  1.8  Fenchel，Fary-Milnor定理
  第一章練習
第二章  曲面內蘊幾何學
  2.1  Gauss絕妙定理
  2.2  協變導數、平行移動
  2.3  測地線
  2.4  Gauss-Bonnet公式
  2.5  指數映射
  2.6  測地完備、Hopf-Rinow定理
  2.7  抽象曲面
  *2.8  常曲率空間分類
    2.8.1  內蘊分類
    2.8.2  外蘊分類：常Gauss曲率曲面
    2.8.3  外蘊分類：常平均曲率曲面
  *2.9  帶符號曲率曲面簡介
    2.9.1  正曲率：Bonnet定理
    2.9.2  非正曲率：Hadamard定理
  第二章練習
第三章  光滑流形
  3.1  流形
  3.2  切空間
  3.3  向量場
  3.4  分佈、Frobenius定理
  3.5  微分形式
    3.5.1  微分形式之代數
    3.5.2  微分形式之分析
  3.6  de Rham上同調
    3.6.1  同倫不變性
    3.6.2  Mayer-Vietoris序列
  3.7  積分和Stokes定理
  *3.8  de Rham定理簡介
    3.8.1  奇異同調
    3.8.2  de Rham定理
  *3.9  Hodge定理簡介
  第三章練習
附錄A  分析、代數工具
  A.1  二次型
  A.2  反函數定理
  A.3  單位分解
  A.4  曲面特殊參數化的存在性
附錄B  拓撲事實
  B.1  旋轉指標定理

  B.2  Jordan曲線定理
  B.3  閉曲面拓撲分類
  B.4  基本群
  B.5  覆蓋映射
參考文獻

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