代數曲線和函數域的類域論分別是代數幾何和代數數論中最重要最基本的知識，目前只有著名數學家J.-P.Serre的著作Groups algebriques et corps de classes(1975)系統討論了這兩套理論，但該書晦澀難懂並有一些小漏洞。本書用Grothendieck發展的現代代數幾何的語言和工具重新處理了代數曲線和函數域的類域論，利用Grothendieck在上同調理論、可表函子、群概形的一些工作給出一般Jacobi簇的構造，並應用於函數域類域論的研究，處理方式比Serre更加自然，對現在的學生和研究人員更通俗易懂。 本書介紹代數曲線的基本理論、Riemann-Roch定理和一般Jacobi簇的構造，並將這些理論用來建立函數域的類域論。具體內容包括：代數曲線、從代數曲線到代數群的射態、一般Jacobi簇、類域論等。 本書可供數學及相關專業的廣大師生和數學工作者閱讀參考。
Preface 1.Algebraic Curves 1.1 The Riemann-Roch theorem 1.2 Residue of differential forms 1.3 Duality 1.4 The Riemann-Roch theorem for singular algebraic curves 1.5 Cartier divisors 2.Morphisms from Algebraic Curves to Algebraic Groups 2.1 Algebraic groups 2.2 Local symbols 2.3 Proof of Rosenlicht's theorem in characteristic 0 2.4 Proof of Rosenlicht's theorem in characteristic p 2.5 Local symbols for the additive group and the multiplicative group 3.Generalized Jacobians 3.1 Principal homogeneous spaces 3.2 Galois descent 3.3 Picard schemes and generalized Jacobians 3.4 Structures of generalized Jacobians 3.5 Extensions and torsors 4.Class Field Theory 4.1 The Lang isogeny 4.2 Coverings as pull backs of isogenies 4.3 Class field theory 4.4 Explicit reciprocity laws Bibliography Index
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