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隨機微分方程導論

  • 作者：編者:高洪俊//石洋洋//喬會傑|責編:張中興//梁清//孫翠勤
  • 出版社：科學
  • ISBN：9787030822987
  • 出版日期：2025/06/01
  • 裝幀：平裝
  • 頁數：162
人民幣：RMB 49 元      售價：元
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內容大鋼
    本書是一本介紹隨機微分方程的基本思想與方法的簡明型教材，先在緒論部分引入隨機微分方程的基本概念和背景知識，隨後在第2章介紹概率論的基本理論。第3章和第4章深入探討了布朗運動、白雜訊、隨機積分的預備知識、Ito積分的核心內容（包括Ito公式和乘積公式）。第5章系統地闡述了隨機微分方程的定義、解的存在唯一性以及解的性質，特別關注了線性隨機微分方程的解法。第6章則將理論與實際應用相結合，展示了隨機微分方程在金融、物理等多個領域的廣泛應用，如期權定價和最優停時問題。本書可作為數學及工科相關專業的教學用書。
作者介紹
編者:高洪俊//石洋洋//喬會傑|責編:張中興//梁清//孫翠勤
目錄
前言
第1章  緒論
  1.1  動機
  1.2  確定和隨機微分方程
  1.3  隨機微分
  1.4  Ito鏈式法則
  第1章練習
第2章  概率論中的基本理論
  2.1  基本定義
    2.1.1  Bertrand悖論
    2.1.2  概率空間
    2.1.3  隨機變數
    2.1.4  隨機過程
  2.2  數學期望、方差
  2.3  分佈函數
  2.4  獨立性
    2.4.1  條件概率
    2.4.2  獨立事件
    2.4.3  獨立隨機變數
  2.5  Borel-Cantelli引理
  2.6  特徵函數
  2.7  強大數定律、中心極限定理
    2.7.1  強大數定律
    2.7.2  Laplace-De Moivre定理
    2.7.3  中心極限定理
  2.8  條件期望
    2.8.1  動機
    2.8.2  條件期望的定義方法1
    2.8.3  條件期望的定義方法2
    2.8.4  性質
  2.9  鞅
    2.9.1  定義
    2.9.2  鞅不等式
  第2章練習
第3章  布朗運動和白雜訊
  3.1  動機
    3.1.1  溯源
    3.1.2  隨機遊走
    3.1.3  數學驗證
  3.2  布朗運動的定義、基本性質
    3.2.1  布朗運動的定義
    3.2.2  聯合概率的計算
    3.2.3  白雜訊
  3.3  構造布朗運動
    3.3.1  正交基展開
    3.3.2  布朗運動的構造
    3.3.3  Rn上的布朗運動
  3.4  樣本路徑
    3.4.1  樣本路徑的連續性
    3.4.2  處處不可微性

  3.5  Markov性
  第3章練習
第4章  隨機積分
  4.1  預備知識
    4.1.1  Paley-Wiener-Zygmund隨機積分
    4.1.2  黎曼和
  4.2  Ito積分
    4.2.1  非可料過程
    4.2.2  階梯過程
    4.2.3  Ito積分的定義和性質
    4.2.4  定義擴展
    4.2.5  Ito不定積分
  4.3  Ito公式和乘積公式
    4.3.1  Ito公式
    4.3.2  Ito公式的應用
    4.3.3  Ito乘積公式
    4.3.4  Ito公式的證明
    4.3.5  更一般的Ito公式
  4.4  高維中的Ito積分
    4.4.1  符號和定義
    4.4.2  Ito公式和乘積公式
  第4章練習
第5章  隨機微分方程
  5.1  定義和例子
    5.1.1  預備工作
    5.1.2  線性隨機微分方程的例子
  5.2  解的存在唯一性
    5.2.1  一維情形
    5.2.2  通過變數代換解隨機微分方程
    5.2.3  一般的存在唯一性定理
  5.3  解的性質
  5.4  線性隨機微分方程
    5.4.1  解的形式:狹義線性隨機微分方程
    5.4.2  解的形式:一般標量線性方程
    5.4.3  線性隨機微分方程的一些解法
  第5章練習
第6章  應用與拓展
  6.1  停時
    6.1.1  定義、基本性質
    6.1.2  隨機積分和停時
    6.1.3  帶停時的Ito公式
    6.1.4  布朗運動和Laplace運算元
  6.2  在偏微分方程中的應用、Feynman-Kac公式
    6.2.1  偏微分方程解的概率表示公式
    6.2.2  Feynman-Kac公式
  6.3  最優停時
    6.3.1  隨機微分方程的停時
    6.3.2  最優停時
    6.3.3  解值函數問題
    6.3.4  設計最優停時

  6.4  期權定價
    6.4.1  基本問題
    6.4.2  套利和對沖
    6.4.3  數學模型
    6.4.4  總結
  6.5  Stratonovich積分
    6.5.1  動機
    6.5.2  近似白雜訊
    6.5.3  近似解
    6.5.4  Stratonovich積分的定義
    6.5.5  Stratonovich鏈式法則
    6.5.6  SDE的轉換公式
    6.5.7  總結
  第6章練習
附錄
  附錄A  Laplace-De Moivre定理的證明
  附錄B  離散鞅不等式的證明
  附錄C  不定Ito積分連續性的證明
參考文獻

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