內容大鋼
本書是為工科類專業研究生編寫的泛函分析基礎教材，全書共分八章，內容包括：實分析基礎、距離空間、Banach空間、Hilbert空間、有界線性運算元、共軛空間與共軛運算元、線性運算元的譜理論、線性運算元半群及其應用。本書注重介紹問題的來源和背景，內容豐富，列舉了大量例題，敘述深入淺出，特彆強調泛函分析理論和方法在控制論和微分方程中的應用。
本書可作為工科類專業研究生和應用數學專業本科生的教學用書，也可作為數學系學生學習泛函分析時的參考書，並可供相關科學技術人員學習參考。
作者介紹
編者:樓旭陽|責編:崔彤
樓旭陽
江南大學教授、博士生導師。長期從事混雜系統控制、無窮維繫統控制、智能機器人方面的教學和科研工作。主講「應用泛函分析」「自動控制原理」「現代控制理論基礎」等課程。發表高水平學術論文80余篇，出版教材3部、專著1部。
目錄
符號說明
第1章 實分析基礎
1.1 數列的收斂
1.2 函數列的收斂
1.3 可測集與可測函數
1.4 勒貝格積分
1.4.1 黎曼積分
1.4.2 勒貝格積分的定義
1.4.3 勒貝格積分的性質
1.5 Lp空間
習題1
第2章 距離空間
2.1 距離空間的基本概念
2.1.1 距離空間的定義
2.1.2 距離空間中的點集
2.1.3 距離空間中的收斂
2.1.4 距離空間中的連續映射
2.1.5 稠密性與可分性
2.2 距離空間的完備性
2.2.1 Cauchy列與完備性
2.2.2 距離空間的完備化
2.3 距離空間的列緊性與緊性
2.3.1 列緊集與緊集
2.3.2 列緊集的性質
2.3.3 緊集上的連續映射
2.4 壓縮映射原理及其應用
2.4.1 不動點與壓縮映射
2.4.2 壓縮映射原理
2.4.3 壓縮映射原理的應用
習題2
第3章 Banach空間
3.1 線性空間
3.1.1 線性空間的定義
3.1.2 線性運算元
3.2 賦范線性空間
3.2.1 賦范線性空間的概念
3.2.2 由范數誘導的距離
3.2.3 依范數收斂
3.3 完備賦范線性空間
3.3.1 Banach空間的概念
3.3.2 Banach空間的性質
3.3.3 Riesz引理
3.4 有限維賦范線性空間
習題3
第4章 Hilbert空間
4.1 內積空間
4.1.1 內積空間的概念
4.1.2 內積導出的范數
4.1.3 范數成為內積的條件
4.1.4 完備內積空間
4.2 正交與正交系
4.2.1 正交性
4.2.2 正交系和標準正交系
4.2.3 Gram Schmidt正交化
4.3 Fourier級數和標準正交基
4.3.1 Fourier級數和Bessel不等式
4.3.2 標準正交基
4.3.3 Hilbert空間的同構
4.4 最佳逼近和正交分解定理
4.4.1 最佳逼近
4.4.2 正交分解定理
4.4.3 正交投影運算元
4.5 正交分解定理的應用
4.5.1 最優控制
4.5.2 函數逼近問題
4.5.3 最小二乘法
習題4
第5章 有界線性運算元理論
5.1 線性運算元
5.1.1 有界線性運算元
5.1.2 連續運算元
5.2 運算元空間
5.2.1 運算元范數和運算元空間
5.2.2 運算元列的收斂性
5.2.3 運算元空間的完備性
5.3 一致有界定理
5.3.1 一致有界定理與共鳴定理
5.3.2 一致有界定理的應用
5.4 逆運算元與逆運算元定理
5.4.1 逆運算元
5.4.2 逆運算元定理
5.4.3 逆運算元定理的應用
5.5 閉運算元與閉圖像定理
5.5.1 閉運算元
5.5.2 閉圖像定理
5.6 Hahn Banach延拓定理
習題5
第6章 共軛空間與共軛運算元
6.1 共軛空間與Riesz表示定理
6.2 自反空間
6.3 共軛運算元
6.4 強收斂與弱收斂
6.4.1 點列的強收斂與弱收斂
6.4.2 運算元列的強收斂與弱收斂
6.4.3 泛函列的弱收斂與弱*收斂
6.5 Riesz表示定理的應用
習題6
第7章 線性運算元的譜理論
7.1 譜集和正則集
7.2 有界線性運算元的譜理論
7.3 自伴運算元的譜理論
7.4 緊運算元的譜理論
7.4.1 緊運算元的定義
7.4.2 緊運算元的性質
7.4.3 緊運算元的譜和Fredholm抉擇定理
習題7
第8章 線性運算元半群及其應用
8.1 抽象Cauchy問題初探
8.2 強連續運算元半群
8.2.1 $C_0$半群的定義和性質
8.2.2 $C_0$半群的生成定理
8.2.3 耗散運算元與壓縮半群
8.3 線性發展方程的解
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