目錄
第一章 集合論初步
1 集的概念 集上的運算
基本定義
集上的運算
2 映射 分類
集的映射 函數的一般概念
分類 等價關係
3 集的對等性 集的勢的概念
有限集與無限集
可數集
集的對等性
實數集的不可數性
康托爾-伯恩斯坦定理
集的勢的概念
4 有序集 超限數
偏序集
保序映射
序型 有序集
有序集的有序和
良序集 超限數
序數的比較
選擇公理 策梅洛定理及與其等價的其他命題
超限歸納法
5 集族
集環
集半環
半環生成的環
σ代數
集族與映射
第二章 度量空間與拓撲空間
1 度量空間的概念
定義與基本例子
度量空間的連續映射 等距
2 收斂性 開集與閉集
極限點 閉包
收斂性
稠密集
開集與閉集
直線上的開集與閉集
3 完備度量空間
完備度量空間的定義與例子
球套定理
貝爾定理
空間的完備化
4 壓縮映射原理及其應用
壓縮映射原理
壓縮映射原理最簡單的一些應用
微分方程的存在性與唯一性定理
壓縮映射原理應用於積分方程
5 拓撲空間
拓撲空間的定義與例子
拓撲的比較
確定鄰域族 基 可數性公理
T中的收斂序列
連續映射 同胚
分離性公理
在空間中給定拓撲的不同方法 可度量性
6 緊性
緊性概念
緊空間的連續映射
在緊空間上的連續函數與半連續函數
可數緊性
准緊集
7 度量空間的緊性
完全有界性
緊性與完全有界性
度量空間中的准緊子集
阿爾采拉定理
佩亞諾定理
一致連續性 度量緊統的連續映射
拓廣的阿爾采拉定理
8 度量空間中的連結曲線
第三章 賦范線性空間與線性拓撲空間
1 線性空間
線性空間的定義及例子
線性相關性
子空間
商空間
線性泛函
線性泛函的幾何意義
2 凸集與凸泛函 哈恩-巴拿赫定理
凸集與凸體
齊次凸泛函
閔可夫斯基泛函
哈恩-巴拿赫定理
線性空間中凸集的可分離性
3 賦范空間
賦范空間的定義與例子
賦范空間的子空間
賦范空間的商空間
4 歐幾里得空間
歐幾里得空間的定義
例子
正交基的存在性 正交化
貝塞爾不等式 封閉正交系
完備的歐幾里得空間 里斯-費希爾定理
希爾伯特空間 同構定理
子空間 正交補 和
歐幾里得空間的特性
復歐幾里得空間
5 線性拓撲空間
定義與例子
局部凸性
可數賦范空間
第四章 線性泛函與線性運算元
1 線性連續泛函
線性拓撲空間中的線性連續泛函
賦范空間上的線性泛函
賦范空間中的哈恩-巴拿赫定理
在可數賦范空間中的線性泛函
2 共軛空間
共軛空間的定義
共軛空間中的強拓撲
共軛空間的例子
二次共軛空間
3 弱拓撲與弱收斂
在線性拓撲空間中的弱拓撲與弱收斂
賦范空間中的弱收斂
共軛空間中的弱拓撲與弱收斂
共軛空間中的有界集
4 廣義函數
函數概念的推廣
基本函數空間
廣義函數
廣義函數的運算
基本函數範圍的充足性
按導數求函數 廣義函數類中的微分方程
某些推廣
5 線性運算元
線性運算元的定義與例
連續性與有界性
運算元的和與積
逆運算元 可逆性
共軛運算元
歐幾里得空間中的共軛運算元 自共軛運算元
運算元的譜 預解式
6 緊運算元
緊運算元的定義與例
緊運算元的基本性質
緊運算元的特徵值
希爾伯特空間中的緊運算元
H中的自共軛緊運算元
第五章 測度, 可測函數, 積分
1 平面集的測度
初等集的測度
平面集的勒貝格測度
若干補充與推廣
2 一般測度概念 測度從半環到環上的擴張 加性和σ加性
測度的定義
從半環到其所生成的環的測度擴張
σ加性
3 測度的勒貝格擴張
給定在一個含有單位集的半環上的測度的勒貝格擴張
給定在不含單位集的半環上的測度擴張
在σ有限測度的情形下可測性概念的擴充
按約當意義的測度擴張
測度擴張的單值性
4 可測函數
可測函數的定義及其基本性質
可測函數的運算
等價性
幾乎處處收斂性
葉果洛夫定理
按測度收斂
魯金定理 C性質
5 勒貝格積分
簡單函數的勒貝格積分
簡單函數的勒貝格積分
具有有限測度的集上的勒貝格積分的一般定義
σ加性和勒貝格積分的絕對連續性
勒貝格積分號下取極限
無窮測度集上的勒貝格積分
勒貝格積分同黎曼積分之比較
6 集族及其測度的直積 富比尼定理
集族的乘積
測度積
用截線的線性測度之積分表示平面測度之表達式 勒貝格積分的幾何意義
富比尼定理
第六章 勒貝格不定積分 微分論
1 單調函數 積分對上限的可微性
單調函數的基本性質
單調函數的可微性
積分對上限求導數
2 有界變差函數
3 勒貝格不定積分的導數
4 用函數的導數求原函數 絕對連續函數
5 作為集函數的勒貝格積分 拉東-尼柯迪姆定理
荷 哈恩分解和約當分解
荷的基本類型
絕對連續荷 拉東-尼柯迪姆定理
6 斯蒂爾切斯積分
斯蒂爾切斯測度
勒貝格-斯蒂爾切斯積分
勒貝格-斯蒂爾切斯積分在概率論中的某些應用
黎曼-斯蒂爾切斯積分
斯蒂爾切斯積分號下取極限
連續函數空間中線性連續泛函的一般形式
第七章 可積函數空間
1 空間L1
空間L1 的定義與基本性質
L1中處處稠密的集合
2 空間L2
定義與基本性質
無窮測度的情形
在L2中處處稠密的集合 同構定理
復空間L2
均方收斂及它與其他類型的泛函序列收斂性的聯繫
3 L2中的正交函數系 按正交系展開的級數
三角函數系 傅里葉三角級數
在閉區間[0,π]上的三角函數系
復形式的傅里葉級數
勒讓德多項式
乘積正交系 多重傅里葉級數
關於給定權正交的多項式
空間 L2(-∞,∞)與L2(0,∞)中的正交基
關於離散權的正交多項式
哈爾系與拉德馬赫-沃爾什系
第八章 三角級數 傅里葉變換
1 傅里葉級數收斂的條件
傅里葉級數在一點收斂的充分條件
傅里葉級數一致收斂的條件
2 費耶定理
費耶定理
三角函數系的完備性 魏斯特拉斯定理
空間L1中的費耶定理
3 傅里葉積分
基本定理
復形式的傅里葉積分
4 傅里葉變換 它的性質與應用
傅里葉變換與反演公式
傅里葉變換的基本性質
埃爾米特函數與拉蓋爾函數的完備性
快速下降無窮次可微函數的傅里葉變換
傅里葉變換與函數的卷積
用傅里葉變換解熱傳導方程
多元函數的傅里葉變換
5 空間L2(-∞,∞)中的傅里葉變換
布蘭舍列爾定理
埃爾米特函數
6 拉普拉斯變換
拉普拉斯變換的定義與基本性質
拉普拉斯變換對解微分方程的應用
7 傅里葉-斯蒂爾切斯變換
傅里葉-斯蒂爾切斯變換的定義
傅里葉-斯蒂爾切斯變換在概率論中的應用
8 廣義函數的傅里葉變換
第九章 線性積分方程
1 基本定義 導致積分方程的某些問題
積分方程的類型
導致積分方程的問題的一些例子
2 弗雷德霍姆積分方程
弗雷德霍姆積分運算元
含對稱核的方程
弗雷德霍姆定理 退化核情形
含任意核的方程的弗雷德霍姆定理
沃爾泰拉方程
第一類積分方程
3 含參數的積分方程 弗雷德霍姆法
H里緊運算元的譜
以λ的冪級形式求解 弗雷德霍姆行列式
第十章 線性空間微分學概要
1 線性空間中的微分
強微分
弱微分
有限增量公式
弱可微性與強可微性之間的關係
可微分泛函
抽象函數
積分
高階導數
高階微分
泰勒公式
2 隱函數定理及其某些應用
隱函數定理
微分方程解對初始數據的依賴性定理
切流形 劉斯切爾尼克定理
3 極值問題
極值的必要條件
二階微分 泛函極值的充分條件
有約束的極值問題
4 牛頓法
附錄 巴拿赫代數
1 巴拿赫代數的定義與一些例子
2 譜和預解式
定義與例子
譜的性質
譜半徑定理
3 幾個輔助結果
商代數定理
三個引理
4 基本定理
線性連續可乘泛函與極大理想
集M中的拓撲 基本定理
維納定理; 習題
文獻
各章的有關文獻
索引
譯者後記
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