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基礎數學講義(走向真正的數學)

  • 作者：(英)伊恩·斯圖爾特//戴維·托爾|責編:戴童|譯者:姜?
  • 出版社：人民郵電
  • ISBN：9787115651471
  • 出版日期：2024/11/01
  • 裝幀：平裝
  • 頁數：370
人民幣：RMB 99.8 元      售價：元
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內容大鋼
    從中學課堂上所學的數學走向真正意義上的數學，是一個重要且不乏困難的過程，需要學生完成思維和心理上的轉變。本書就是為想在數學學習上走向「成熟」的讀者準備的。作者基於在大學本科及以上階段的豐富教學經驗，針對高中生和大學本科生在數學思維和心理上的潛在困難，通過講解標準化的數學基礎內容、形式數學的特點和相關思想方法，讓讀者體會數學家是如何處理問題的。
作者介紹
(英)伊恩·斯圖爾特//戴維·托爾|責編:戴童|譯者:姜?
目錄
第一部分  數學直覺的背景知識
  第1章  數學思維
    1.1  概念的形成
    1.2  基模
    1.3  一個例子
    1.4  自然數學與形式數學
    1.5  基於人類經驗建立形式化概念
    1.6  形式化系統和結構定理
    1.7  更靈活地使用形式數學
    1.8  習題
  第2章  數系
    2.1  自然數
    2.2  分數
    2.3  整數
    2.4  有理數
    2.5  實數
    2.6  繪圖的不精確性
    2.7  實軸的理論模型
    2.8  不同數的不同小數表示
    2.9  有理數和無理數
    2.10  實數的必要性
    2.11  小數算術
    2.12  序列
    2.13  順序性質和模
    2.14  收斂
    2.15  完備性
    2.16  遞減序列
    2.17  同一實數的不同小數表示
    2.18  有界集
    2.19  習題
第二部分  形式化的開端
  第3章  集合
    3.1  成員
    3.2  子集
    3.3  是否存在宇集
    3.4  並集和交集
    3.5  補集
    3.6  集合的集合
    3.7  習題
  第4章  關係
    4.1  有序對
    4.2  數學的精確性和人類的理解
    4.3  將有序對概念化的其他方法
    4.4  關係
    4.5  等價關係
    4.6  例子：模n算術
    4.7  等價關係的一些細節
    4.8  順序關係
    4.9  習題
  第5章  函數

    5.1  一些傳統函數
    5.2  函數的一般定義
    5.3  函數的一般性質
    5.4  函數的圖像
    5.5  函數的複合
    5.6  反函數
    5.7  限制
    5.8  序列和n元組
    5.9  多元函數
    5.10  二元運算
    5.11  集合的索引族
    5.12  習題
  第6章  數理邏輯
    6.1  陳述
    6.2  謂詞
    6.3  所有和部分
    6.4  多個量詞
    6.5  否定
    6.6  邏輯語法：聯結詞
    6.7  和集合論的聯繫
    6.8  複合陳述公式
    6.9  邏輯演繹
    6.10  證明
    6.11  習題
  第7章  數學證明
    7.1  公理化系統
    7.2  理解證明與自我解釋
    7.3  試題
    7.4  習題
第三部分  公理化系統的發展
  第8章  自然數和數學歸納法
    8.1  自然數
    8.2  歸納定義
    8.3  算術定律
    8.4  自然數的順序
    8.5  0的唯一性
    8.6  計數
    8.7  馮·諾伊曼的靈感
    8.8  其他形式的歸納法
    8.9  除法
    8.10  因數分解
    8.11  歐幾里得演算法
    8.12  思考
    8.13  習題
  第9章  實數
    9.1  基本的算術結果
    9.2  基本的順序結果
    9.3  構造整數
    9.4  構造有理數
    9.5  構造實數

    9.6  有理數序列
    9.7  上的順序
    9.8  的完備性
    9.9  習題
  第10章  作為完備有序域的實數
    10.1  環和域的例子
    10.2  有序環和有序域的例子
    10.3  回顧同構
    10.4  一些特徵
    10.5  和直覺概念間的聯繫
    10.6  習題
  第11章  複數以及後續數系
    11.1  歷史背景
    11.2  構造複數
    11.3  復共軛
    11.4  模
    11.5  歐拉的指數函數方法
    11.6  餘弦和正弦的加法公式
    11.7  復指數函數
    11.8  四元數
    11.9  形式數學方法的轉變
    11.10  習題
第四部分  使用公理化系統
  第12章  公理化系統、結構定理和靈活思考
    12.1  結構定理
    12.2  不同數學思維方法的心理學解釋
    12.3  構建形式化理論
    12.4  後續發展
    12.5  習題
  第13章  置換和群
    13.1  置換
    13.2  作為循環的置換
    13.3  置換的群性質
    13.4  群的公理
    13.5  子群
    13.6  同構和同態
    13.7  劃分群來得到商群
    13.8  群和子群的元素數量
    13.9  定義群結構的劃分
    13.10  群同態的結構
    13.11  群結構
    13.12  群論在數學中的主要貢獻
    13.13  後續發展
    13.14  習題
  第14章  基數
    14.1  康托爾的基數
    14.2  施羅德-伯恩斯坦定理
    14.3  基數的算術
    14.4  基數的順序關係
    14.5  習題

  第15章  無窮小量
    15.1  比實數更大的有序域
    15.2  超有序域
    15.3  超有序域的結構定理
    15.4  在幾何數軸上表示無窮小量
    15.5  放大到更高維度
    15.6  無窮小量的微積分
    15.7  非標準分析
    15.8  非標準分析的奇妙可能性
    15.9  習題
第五部分  強化基礎
  第16章  集合論公理
    16.1  一些困境
    16.2  集合和類
    16.3  集合論公理概述
    16.4  選擇公理
    16.5  一致性
    16.6  習題
  附錄  如何閱讀證明：「自我解釋」方法
    如何自我解釋
    自我解釋的例子
    自我解釋和其他方法的對比
    練習證明
    練習證明
    記住
參考文獻

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