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偏微分方程數值解(21世紀數學規劃教材)/數學基礎課系列

作者：編者:黃建國|責編:潘麗娜
出版社：北京大學
ISBN：9787301309667

出版日期：2023/01/01
裝幀：平裝
頁數：318

人民幣：RMB 48 元售價：元

內容大鋼

    本書主要介紹了求解偏微分方程定解問題的兩大類基本方法：有限差分方法和有限元方法。全書共分九章，第一章為緒論，第二章至第五章先後介紹了求解橢圓型、雙曲型和拋物型方程定解問題的基本有限差分方法，以及穩定性、收斂性分析的相關理論知識，後面四章依次為變分方法、有限元方法的構造與理論基礎、橢圓型方程有限元方法的MATLAB編程，以及二維問題有限元方法的誤差分析等。
    本書強調通過數學建模、演算法設計、理論分析和上機實算「四位一體」的講解模式，從直觀和理論兩方面解讀如何合理構造求解偏微分方程定解問題的數值方法，同時也介紹了如何利用MATLAB軟體實現網格剖分和有限元編程，從而達到學之能用，甚或開拓創新的目的。
    本書可供高年級本科生和研究生作為相關課程的教材使用，也是從事科學與工程計算的研究人員的一本有價值的參考讀物。

作者介紹

編者:黃建國|責編:潘麗娜
黃建國，上海交通大學數學科學學院教授、博士生導師。1986年本科畢業於復旦大學數學系，1992年在復旦大學數學所獲理學博士學位。現為中國計算數學學會理事，2006年獲教育部新世紀優秀人才稱號。2009年至2015年期間曾任上海交通大學數學系剮系主任。長期從事科學計算與數學建模的教學科研工作。參加國家教學名師樂經良教授等主編的面向二十一世紀教材《數學實驗》的編寫和修訂工作，2013年獲上海交通大學優秀教師一等獎，指導的博士生論文獲2011年上海市優秀博士學位論文。長期從事偏微分方程數值解，組合彈性結構問題的數學模型和有限元方法，反問題數值解等的研究工作，取得有重要價值科研成果。發表學術論文80多篇，其中在SINtJM，SISC，SIMAX，Math．Comp．，N1amer·．Mattl．。Inver-se P：roblems等同際有重要影響的學術刊物發表ScI論文50多篇。先後6次主持國家自然科學基金項日，參加973項目和上海市重點項目各l項。多次赴美國、德國、英國等國家和中國香港地區從事科研合作與交流。

第一章  緒論
  1.1  解方程是數學應用於實踐的魅力所在
  1.2  微分方程數值解(科學計算)的必要性
    1.2.1  微分方程數值解(科學計算)的廣泛應用
    附錄  KdV方程(1.1)行波解(1.2)的導出
  習題1
  參考文獻
第二章  橢圓型方程的差分方法
  2.1  從一個簡單例子談起
  2.2  求解線性代數方程組的幾類基本迭代法
  2.3  求解矩形域上Poisson方程的五點差分格式
    2.3.1  五點差分格式
    2.3.2  理論分析
    2.3.3  離散后線性方程組的基本求解方法
  2.4  求解五點差分格式的快速DST方法
    2.4.1  矩陣方程
    2.4.2  矩陣方程的求解
    2.4.3  離散正弦變換及應用
    2.4.4  求解五點差分格式的快速DST方法和其他方法的計算效果
  2.5  求解矩形域上Poisson方程的緊致差分格式
    2.5.1  兩點邊值問題(2.1)的緊致差分格式
    2.5.2  Poisson方程緊致差分格式的構造
    2.5.3  求解Poisson方程緊致差分格式的快速演算法
  2.6  求解橢圓型方程一般差分格式的極值原理
    2.6.1  橢圓型差分格式的一般形式
    2.6.2  極值原理I與最大模估計
    2.6.3  極值原理II與最大模估計
  習題2
  參考文獻
第三章  發展方程有限差分法的基本概念和理論
  3.1  有限差分法的構造
    3.1.1  解域的離散
    3.1.2  用數值微分法建立差分格式
  3.2  構造差分格式的有限體積法
  3.3  差分格式的截斷誤差、相容性和構造差分格式的待定係數法
  3.4  差分格式的收斂性與穩定性
  3.5  判別差分格式穩定性的Fourier方法
  3.6  Von-Neumann條件及在差分格式穩定性分析中的應用
  3.7  差分格式穩定性的其他研究方法
  附錄  差分格式的抽象框架與Lax等價性定理
  習題3
  參考文獻
第四章  雙曲型方程的差分方法
  4.1  一階線性常係數雙曲型方程初值問題
  4.2  CFL條件
  4.3  利用特徵線構造差分格式
  4.4  差分格式的耗散、色散與余項效應分析
    4.4.1  耗散與色散
    4.4.2  差分格式的修正偏微分方程(MPDE)
    4.4.3  基於修正偏微分方程的耗散和色散分析

    4.4.4  基於修正偏微分方程構造改進的差分格式
  4.5  一階變係數雙曲型方程初值問題
    4.5.1  解的存在、唯一性
    4.5.2  差分方法及穩定性分析
  4.6  一階雙曲型方程的初邊值問題
  4.7  二階雙曲型方程
  附錄  Hadmard定理的證明
  習題4
  參考文獻
第五章  拋物型方程的差分
  5.1  一維常係數拋物型方程初值問題
  5.2  一維變係數拋物型方程初值問題
  5.3  初邊值問題
  5.4  對流擴散方程
  5.5  Richardson外推法
    5.5.1  外推法與Π的高效計算
    5.5.2  差分方程的外推法
  5.6  二維拋物型方程的差分方法
  5.7  運算元分裂方法
    5.7.1  從一個簡單例子談起
    5.7.2  分裂格式的半群理解
    5.7.3  運算元分裂方法在拋物型方程差分方法中的應用
  習題5
  參考文獻
第六章  變分方法
  6.1  歷史背景
  6.2  變分問題解的必要條件
  6.3  二次函數極值問題
  6.4  一維區域上的Sobolev空間
  6.5  一維變分問題
  6.6  二維變分問題
  6.7  變分問題的近似計算
  附錄  高維Sobolev空間初步
  習題6
  參考文獻
第七章  有限元方法的構造與理論基礎
  7.1  一維橢圓問題的有限元方法——線性元
    7.1.1  有限元空間的構造
    7.1.2  有限元方程組的形成
  7.2  一維橢圓問題線性有限元方法的理論分析
    7.2.1  可解性分析
    7.2.2  收斂性分析
  7.3  后驗誤差估計及自適應有限元方法
    7.3.1  網格剖分的重要性
    7.3.2  后驗誤差估計
    7.3.3  自適應有限元方法
  7.4  二維橢圓問題的有限元方法
    7.4.1  單元劃分及試探函數空間的形成
    7.4.2  有限元方程的形成
    7.4.3  約束條件處理

    7.4.4  單元積分的計算
  習題7
  參考文獻
第八章  橢圓型方程有限元方法的MATLAB編程
  8.1  模型問題
    8.1.1  問題的Galerkin離散
    8.1.2  區域Ω的剖分信息
    8.1.3  剛度矩陣的組裝
    8.1.4  右端項的組裝
    8.1.5  Dirichlet條件的處理
    8.1.6  數值解的計算和顯示
    8.1.7  求解二維Poisson問題的完整MATLAB程序
  8.2  數值實驗
    8.2.1  一維橢圓型方程的求解算例
    8.2.2  二維橢圓型方程的求解算例
  8.3  MATLAB網格數據與區域描述
    8.3.1  MATLAB網格數據的使用
    8.3.2  MATLAB區域描述方法
  習題8
  參考文獻
第九章  二維問題有限元方法的誤差分析
  9.1  二維橢圓型方程有限元方法的誤差估計I
    9.1.1  抽象誤差估計
    9.1.2  插值運算元誤差估計-Taylor展開方法
  9.2  二維橢圓型方程有限元方法的誤差估計II
    9.2.1  仿射簇
    9.2.2  局部插值運算元誤差估計
    9.2.3  二階問題的誤差估計
    9.2.4  L2范數誤差估計
    9.2.5  非光滑解的收斂性
  9.3  拋物型方程的有限元法
    9.3.1  半離散有限元法
    9.3.2  誤差分析
    9.3.3  全離散格式及其誤差分析
    9.3.4  二維拋物型方程的求解算例
  9.4  雙曲型方程的有限元法
    9.4.1  誤差分析
    9.4.2  二維雙曲型方程的求解算例
  習題9
  參考文獻

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