同調論(研究生數學基礎課教材)/北京大學數學教學系列叢書
內容大鋼
《同調論》是作者多年來在北京大學講授「同調論」課程的講義，系統地講述了同調論的基本理論和方法。
該書的主線是奇異同調的理論框架和胞腔同調的計算方法，單純同調作為胞腔同調的特殊情形來處理。前三章講加法結構，基本上採取傳統的講法。第四章講乘法結構，綜合了奇異同調和胞腔同調這兩個不同的角度。第五章流形的論述比較新穎，在胞腔流形上建立起互相對稱的對偶剖分，給對偶定理提供了清晰的幾何圖景。這雖是古樸的思路，卻是文獻中所未見的。
《同調論》在選材上注重概念、方法、結論、應用，充分反映同調論的核心內容；在內容處理上強調幾何背景，舉例豐富，圖文並茂；在敘述上語言精煉而清晰易懂，注意各章節之間的聯繫呼應，便於教學與自學。每節配有適量的習題和思考題，以幫助讀者理解和掌握。
《同調論》可作為綜合大學、高等師範院校數學系研究生、高年級大學生的教材或教學參考書，也可供數學工作者閱讀。
作者介紹
姜伯駒|責編:劉勇
姜伯駒，男，1937年生。北京大學數學系教授，基礎數學專業博士生導師，中國科學院院士，第三世界科學院院士。
姜伯駒是拓撲學家，主要研究領域是不動點理論和低維拓撲學，獲得了一系列重要成果。曾獲國家自然科學三等獎、二等獎，陳省身數學獎，何梁何利基金科技進步獎，華羅庚數學獎。曾任中國數學會教育工作委員會主任，北京大學數學科學學院院長，教育部理科數學與力學教學指導委員會主任等職。
除數學論文外，有專著《尼爾森不動點理論講座》，科普書《一筆畫和郵遞路線問題》、《繩圈的數學》。曾參與合編教材《解析幾何》，合譯教材《同調論(上)》。
目錄
第一章 奇異同調
1 範疇與函子
1.1 範疇
1.2 協變函子
1.3 反變函子
1.4 簡單的推論
2 鏈復形與鏈映射
2.1 鏈復形及其同調群
2.2 鏈映射及其誘導同態
2.3 鏈同倫
3 奇異同調群
3.1 奇異單形
3.2 奇異鏈復形與奇異同調群
3.3 簡約奇異同調群
3.4 奇異同調的同倫不變性
3.5 與基本群的關係
3.6 U-小奇異鏈
4 Mayer-Vietoris同調序列
4.1 同調代數的基本知識
4.2 Mayer-Vietoris同調序列
5 球面Sm的拓撲性質
5.1 球面Sm的同調群
5.2 球面映射的度
5.3 Jordan-Brouwer分離性
6 映射的簡約同調序列
6.1 貼空間
6.2 映射的簡約同調序列
6.3 粘貼胞腔
6.4 射影空間的同調群
第二章 相對同調與上同調
1 相對同調群
1.1 空間偶的相對同調群
1.2 切除定理
1.3 空間三元組的同調序列
2 局部同調群，局部定向與映射度
2.1 局部同調群
2.2 流形的局部定向
2.3 胞腔和球面的定向
2.4 有向球面的映射度
3 帶係數的同調群
3.1 自由Abel群的張量積函子一□(特殊符號)G
3.2 Abel群的張量積
3.3 協變函子一□(特殊符號)G
3.4 帶係數的奇異鏈復形和奇異同調群
3.5 Eilenberg.-Steenrod公理
3.6 簡約同調群的公理
4 上同調群
4.1 同態群Hom(A，B)
4.2 反變函子Horn(-，G)
4.3 上鏈復形與上同調群
4.4 奇異上同調群
4.5 用上鏈直接描述
4.6 上同調的Eilenberg-Steenrod公理
4.7 上下同調群的Kronecker積
4.8 域係數的奇異鏈群與同調群
4.9 de Rham定理簡介
第三章 胞腔同調
1 胞腔復形與胞腔映射
1.1 胞腔復形
1.2 胞腔映射
1.3 拓撲空間的CW逼近
2 胞腔鏈復形與胞腔鏈映射
3 胞腔同調定理
3.1 胞腔同調定理
3.2 胞腔同調定理的推論
3.3 帶係數的胞腔同調與胞腔上同調
3.4 單純復形與單純映射
3.5 單純鏈復形與單純鏈映射
3.6 有序單純復形
4 胞腔同調的計算
4.1 胞腔的定向
4.2 胞腔鏈群的基
4.3 胞腔鏈映射的描述
4.4 胞腔邊緣同態的描述
4.5 實射影空間的同調群
4.6 乘積復形的胞腔鏈復形
5 Euler示性數與Morse不等式
5.1 有限生成Abel群的構造定理
5.2 整數係數的情形
5.3 域係數的情形
5.4 Morse臨界點理論介紹
6 自由鏈復形
6.1 自由Abel群的特殊性質
6.2 自由鏈復形的特殊性質
6.3 代數映射錐
6.4 從同調同態構作鏈映射
6.5 定理6.1的證明
7 萬有係數定理
7.1 初等鏈復形的同調
7.2 萬有係數定理的樸素形式
7.3 域係數的情形
7.4 對偶配對與對偶基
第四章 乘積
1 復形的乘積
1.1 自由鏈復形的張量積
1.2 Kunneth公式
1.3 胞腔復形的乘積
1.4 下同調類的張量積
1.5 上同調類的張量積
1.6 上下同調類的斜積
1.7 胞腔同調中，同調類的乘積
2 胞腔上同調中的上積與卡積
2.1 上積
2.2 卡積
2.3 閉單形的稜柱剖分
2.4 Alexander-Whitney鏈映射
3 奇異上同調中的乘法
3.1 奇異上鏈的上積與卡積
3.2 在上同調的水平上，上積與卡積的基本性質
3.3 分次環與分次模，上同調環與下同調模
3.4 上同調環的交換性
3.5 准單純復形中的上積與卡積
4 實射影空間的上同調環，Borsuk-Ulam定理
4.1 實射影空間的上同調環
4.2 Borsuk-Ulam定理
5 乘積空間的奇異同調
5.1 積空間的奇異同調，Eilenberg-Zilber定理
5.2 奇異上同調的叉積
5.3 乘積空間的上積
5.4 空間偶的乘積
6 相對上同調的上積
6.1 相對上同調的上積
6.2 Ljusternik—Schnierelman疇數
第五章 流形
1 正則胞腔復形
1.1 正則胞腔復形的定義
1.2 重心重分
1.3 重分鏈映射
1.4 環繞復形與對偶塊
1.5 交鏈——卡積的幾何解釋
1.6 星形，正則胞腔復形的局部構造
1.7 正則鄰域
2 流形，Poincard對偶定理
2.1 胞腔流形的定義
2.2 對偶剖分
2.3 胞腔流形的定向
2.4 對偶胞腔的定向
2.5 Poincaxd對偶定理
2.6 強連通性
2.7 上積是對偶配對
3 交積，相交數
3.1 交積
3.2 相交數
3.3 轉移同態
4 Lefschetz不動點定理
4.1 積流形上的交積
4.2 對角線同調類
4.3 有向流形上的不動點
4.4 胞腔復形的Lefschetz不動點定理
5 相對流形，Lefschetz和Alexander對偶定理
5.1 相對胞腔流形的定義
5.2 相對胞腔流形的定向
5.3 Lefschetz對偶定理
5.4 Alexander對偶定理
5.5 球面的Alexander對偶定理
6 帶邊流形，Lefschetz對偶定理
6.1 帶邊胞腔流形的定義
6.2 帶邊流形的Lefschetz對偶定理
6.3 流形的配邊問題
6.4 微分流形的配邊理論簡介
7 子流形，Thorn同構定理
7.1 Thorn類和Thorn同構定理
7.2 Euler類
7.3 Gysin序列
7.4 對角線的Thom類
參考文獻
記號表
索引
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