目錄
序
前言
Pr?face et remerciements
Chapitre 1D?rivation et d?veloppements limit?s
1.1 Nombre d?riv? en un point
1.1.1 D?finition
1.1.2 Interpr?tations graphique et cin?matique
1.1.3 D?veloppement limit? d』ordre
1.2 Fonction d?riv?e
1.2.1 D?finition
1.2.2 Op?rations sur les fonctions d?rivables
1.2.3 D?riv?e d』une bijection r?ciproque
1.2.4 D?riv?es successives et formule de Leibniz
1.3 ?tude globale des fonctions d?rivables ? valeurs r?elles
1.3.1 Caract?risation des extrema locaux
1.3.2 Th?or?me de Rolle
1.3.3 ?galit? et in?galit? des accroissements finis
1.3.4 Application aux variations d』une fonction
1.3.5 Applications aux suites r?currentes de la forme un+1 = f(un)
1.3.6 Th?or?me de prolongement
1.4 D?finition et propri?t?s des d?veloppements limit?s
1.5 Op?rations sur les d?veloppements limit?s
1.5.1 Somme et produit
1.5.2 Inverse
1.5.3 Int?gration et d?rivation d』un DL
1.6 Formules de Taylor
1.6.1 Formule de Taylor avec reste int?gral et in?galit? de Taylor-Lagrange
1.6.2 Formule de Taylor-Young
1.6.3 Formule (ou ?galit?) de Taylor-Lagrange
1.6.4 Application aux fonctions usuelles
1.7 Applications des d?veloppements limit?s
1.7.1 ?tude des limites ou recherche d』?quivalent
1.7.2 ?tude de position d』une courbe par rapport ? sa tangente
1.7.3 D?veloppement asymptotique et ?tude de position par rapport ? une asymptote
1.7.4 Recherche d』extremum
1.7.5 Nature d』un point stationnaire d』une courbe param?tr?e
1.8 Exercices
Chapitre 2Espaces vectoriels de dimension finie
2.1 Familles de vecteurs
2.1.1 Famille libre
2.1.2 Famille g?n?ratrice
2.1.3 Base d』un espace vectoriel
2.1.4 Caract?risation d』une application lin?aire par l』image d』une base
2.2 Dimension d』un espace vectoriel
2.2.1 D?finition et exemples
2.2.2 Th?or?mes de la dimension et de la base incompl?te
2.2.3 Dimension d』un espace vectoriel et caract?risation des bases
2.3 Propri?t?s de la dimension
2.3.1 Dimensions d』un produit cart?sien et d』une somme directe
2.3.2 Dimension d』un sous-espace vectoriel
2.3.3 Dimension d』une somme de deux espaces
2.3.4 Caract?risation des sommes directes et des sous-espaces suppl?mentaires par les bases
2.3.5 Rang d』une famille de vecteurs
2.4 Th?or?me du rang
2.4.1 D?finition du rang d』une application lin?aire
2.4.2 Th?or?me du rang
2.4.3 Caract?risation des isomorphismes et des ?l?ments inversibles de L(E)
2.5 Exercices
2.6 Annexe
2.6.1 D?monstration du th?or?me fondamental de la th?orie de la dimension
Chapitre 3Matrices
3.1 D?finition d』une matrice
3.2 Op?rations sur les matrices
3.2.1 Structure d』espace vectoriel
3.2.2 Base canonique de Mn;p(K)
3.2.3 Produit matriciel
3.2.4 Transposition
3.3 Matrices carr?es
3.3.1 Alg?bre Mn(K)
3.3.2 Matrices carr?es inversibles et groupe GLn(K)
3.3.3 Sous-ensembles remarquables de Mn(K)
3.4 Matrices et applications lin?aires
3.4.1 D?finition de la matrice d』une application lin?aire relativement ? deux bases
3.4.2 Propri?t?s ?l?mentaires des matrices d』applications lin?aires
3.4.3 Isomorphisme canonique de L(Kp;Kn) sur Mn;p(K)
3.4.4 Cas des formes lin?aires : ?quations cart?siennes d』un hyperplan
3.5 Matrice d』un endomorphisme
3.5.1 D?finition et isomorphisme de L(E) sur Mn(K)
3.5.2 Matrice d』une famille finie de vecteurs dans une base
3.5.3 Matrice de passage et changements de bases
3.6 Rang d』une matrice et op?rations ?l?mentaires
3.6.1 D?finition du rang d』une matrice et premi?re caract?risation
3.6.2 Op?rations ?l?mentaires sur les lignes (ou les colonnes)
3.6.3 M?thode du pivot de Gauss pour d?terminer le rang d』une matrice (ou l』inverse d』une matrice)
3.7 Matrices ?quivalentes, matrices semblables et trace d』une matrice carr?e
3.7.1 Matrices ?quivalentes
3.7.2 Matrices semblables
3.7.3 Trace d』une matrice carr?e et trace d』un endomorphisme
3.8 Exercices
Chapitre 4Int?gration des fonctions d』une variable r?elle
4.1 Int?gration sur un segment d』une fonction en escalier
4.1.1 Fonction en escalier
4.1.2 Int?grale sur un segment d』une fonction en escalier
4.1.3 Propri?t?s de l』int?grale
4.2 Int?grale sur un segment d』une fonction continue par morceaux
4.2.1 Fonctions continues par morceaux et approximation uniforme par des fonctions en escalier
4.2.2 D?finition de l』int?grale d』une fonction continue par morceaux
4.2.3 Extension aux fonctions ? valeurs complexes
4.2.4 Li
4.2.6 Cas des fonctions continues : produit scalaire usuel sur C0([a; b] ;R) et in?galit? de Cauchy-Schwarz
4.3 Approximation de l』int?grale
4.3.1 Sommes de Riemann
4.3.2 M?thode des rectangles pour approcher une int?grale
4.3.3 M?thodes des trap?zes
4.4 Int?gration et d?rivation
4.4.1 Primitive d』une fonction continue
4.4.2 Fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque
4.4.3 Int?grale de la borne sup?rieure et th?or?me fondamental
4.5 Calcul d』int?grales et de primitives
4.5.1 Int?gration par parties
4.5.2 Changement de variable
4.5.3 Cas des fonctions rationnelles
4.5.4 Fonctions rationnelles en sinus et cosinus
4.5.5 Autres exemples
4.6 Int?grale g?n?ralis?e sur un intervalle quelconque
4.6.1 D?finition de la convergence d』une int?grale g?n?ralis?e
4.6.2 Propri?t?s ?l?mentaires
4.6.3 Cas particulier des fonctions positives
4.6.4 Int?grales de r?f?rence
4.6.5 Crit?res de convergence pour les fonctions positives
4.6.6 Parties r?elles et imaginaires, absolue convergence et lien avec la convergence
4.6.7 Bilan sur les m?thodes
4.6.8 Extension aux fonctions continues sur un intervalle sauf en un nombre fini de points
4.7 Exercices
4.8 Annexe
4.8.1 D?monstration du th?or?me d』approximation
4.8.2 Compl?ments sur les sommes de Riemann
Chapitre 5 S?ries num?riques
5.1 G?n?ralit?s sur les s?ries
5.1.1 D?finitions et vocabulaire des s?ries
5.1.2 Convergence, divergence, divergence grossi?re et convergence absolue
5.1.3 Op?rations sur les s?ries convergentes
5.2 S?ries ? termes positifs
5.2.1 Convergence, divergence et comparaison des termes g?n?raux
5.2.2 Comparaison s?rie-int?grale
5.2.3 S?ries positives de r?f?rence
5.2.4 Crit?re de D』Alembert
5.3 S?ries r?elles
5.3.1 S?ries absolument convergentes et semi-convergentes
5.3.2 Crit?re sp?cial pour les s?ries altern?es
5.3.3 S?ries et sommes r?elles de r?f?rence
5.3.4 Bilan des m?thodes d』?tude des s?ries r?elles
5.4 S?ries complexes
5.4.1 S?ries absolument convergentes et semi-convergentes
5.4.2 S?ries complexes de r?f?rence
5.5 Familles sommables et th?or?mes de Fubini
5.5.1 Notion de d?nombrabilit?
5.5.2 Familles sommables de nombres r?els positifs
5.5.3 S?ries doubles ? termes pos
5.5.4 Familles sommables de nombres complexes
5.5.5 S?ries doubles complexes
5.6 Exercices
5.7 Annexe
5.7.1 Transformation d』Abel et crit?re pour les s?ries trigonom?triques
5.7.2 Th?or?me d』associativit? pour les familles sommables
Chapitre 6Probabilit?s discr?tes
6.1 Notion de tribu et d?finition d』une probabilit?
6.2 Mesure de probabilit? conditionnelle et formule des probabilit?s totales
6.3 Variable al?atoire r?elle et loi de probabilit?
6.4 Ind?pendance d』?v?nements ou de variables al?atoires
6.5 D?finition d』une probabilit? discr?te
6.6 Variables al?atoires discr?tes
6.7 Esp?rance, variance et moments
6.8 In?galit?s de Markov et de Bienaym?-Tchebychev
6.9 Sommes de variables al?atoires discr?tes usuelles et ind?pendantes
6.10 Calculs d』esp?rance ou de variance pour des variables al?atoires ind?pendantes
6.11 Exercices
Chapitre 7Fonctions convexes
7.1 Fonctions convexes
7.1.1 D?finition et interpr?tation graphique
7.1.2 Caract?risation de la convexit? par la pente des cordes
7.1.3 Caract?risation de la convexit? lorsque f est d?rivable
7.1.4 R?gularit? des fonctions convexes
7.2 In?galit?s de convexit?
7.2.1 In?galit? g?n?ralis?e de convexit?
7.2.2 Moyennes arithm?tique, g?om?trique et harmonique
7.3 Exercices
Chapitre 8D?terminants et syst?mes lin?aires
8.1 D?finition du d?terminant
8.1.1 Formes n-lin?aires, formes altern?es et antisym?triques
8.1.2 Caract?risation des formes n-lin?aires altern?es et dimension de l』espace *n(E)
8.1.3 D?finition du d?terminant dans une base B et propri?t?s ?l?mentaires
8.1.4 Caract?risation des bases de E par le d?terminant
8.2 D?terminant d』un endomorphisme
8.2.1 D?finition
8.2.2 Propri?t?s du d?terminant et caract?risation des isomorphismes
8.3 D?terminant d』une matrice carr?e
8.3.1 D?finition et propri?t?s 「simples」
8.3.2 D?veloppement par rapport ? une ligne ou une colonne
8.3.3 Op?rations ?l?mentaires sur les lignes ou colonnes
8.3.4 Cas particulier : cas des matrices triangulaires
8.3.5 Lien avec le d?terminant de l』application lin?aire associ?e et cons?quences
8.4 Syst?mes d』?quations lin?aires
8.4.1 D?finitions et structure des solutions
8.4.2 Rang d』un syst?me lin?aire et dimension de l』espace homog?ne associ?
8.4.3 Cas des syst?mes de Cramer et formules de Cramer
8.4.4 M?thode du pivot de Gauss pour r?soudre un syst?me
8.5 Exercices
Chapitre 9 Espaces euclidiens
9.1 Produit scalaire
9.1.1 D?finition d』un produit scalaire et exemples
9.1.2 In?galit? de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associ?e
9.1.3 Propri?t?s remarquables
9.2 Orthogonalit?
9.2.1 D?finitions
9.2.2 Propri?t?s des familles orthogonales
9.3 Espaces euclidiens
9.3.1 D?finition
9.3.2 Orthogonal d』une partie et existence de bases orthonorm?es
9.3.3 Projecteurs orthogonaux et sym?tries orthogonales
9.3.4 Proc?d? d』orthonormalisation de Schmidt
9.3.5 Isomorphisme naturel entre E et son dual
9.4 Automorphismes orthogonaux d』un espace euclidien
9.4.1 D?finition et exemples
9.4.2 Caract?risations des automorphismes orthogonaux
9.4.3 Matrices orthogonales
9.5 Automorphismes orthogonaux du plan et ?tude des groupes O2(R) et SO2(R)
9.5.1 ?tude des groupes O2(R) et SO2(R)
9.5.2 Rotations du plan
9.5.3 R?flexions et d?composition d』une rotation en produit de deux r?flexions
9.6 Automorphismes orthogonaux de l』espace et ?tude du groupe O3(R)
9.6.1 ?tude th?orique
9.6.2 ?tude pratique
9.7 Exercices
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