目錄
序言
第1章 柯尼斯堡七橋問題
1.1 尤里
1.2 一筆畫問題
1.3 從簡單的圖開始
1.4 圖與次數
1.5 這也是數學嗎
1.6 逆定理的證明
第2章 默比烏斯帶和克萊因瓶
2.1 樓頂
2.1.1 泰朵拉
2.1.2 默比烏斯帶
2.2 教室
2.3 圖書室
2.3.1 米爾嘉
2.3.2 分類
2.3.3 閉曲面的分類
2.3.4 可定向曲面
2.3.5 不可定向曲面
2.3.6 展開圖
2.3.7 連通和
2.4 歸途
第3章 泰朵拉的身邊
3.1 家人的身邊
3.2 0的附近
3.2.1 練習
3.2.2 全等與相似
3.2.3 對應關係
3.3 實數a的附近
3.3.1 全等、相似、同胚
3.3.2 連續函數
3.4 點a的附近
3.4.1 前往異世界的準備
3.4.2 距離的世界：實數a的δ鄰域
3.4.3 距離的世界：開集
3.4.4 距離的世界：開集的性質
3.4.5 旅程：從距離的世界到拓撲的世界
3.4.6 拓撲的世界：開集公理
3.4.7 拓撲的世界：開鄰域
3.4.8 拓撲的世界：連續映射
3.4.9 同胚映射
3.4.10 不變性
3.5 泰朵拉的身邊
第4章 非歐幾何
4.1 球面幾何
4.2 現在和未來之間
4.3 雙曲幾何
4.3.1 所謂的「學習」
4.3.2 非歐幾何
4.3.3 鮑耶與羅巴切夫斯基
4.3.4 自己家
4.4 跳出勾股定理
4.4.1 理紗
4.4.2 距離的定義
4.4.3 龐加萊圓盤模型
4.4.4 半平面模型
4.5 超越平行公理
4.6 自己家
第5章 跳入流形
5.1 跳出日常
5.1.1 輪到我了
5.1.2 為了打倒惡龍
5.1.3 尤里的疑問
5.1.4 考慮低維的情況
5.1.5 會歪成什麼樣子呢
5.2 跳入非日常
5.2.1 櫻花樹下
5.2.2 內外翻轉
5.2.3 展開圖
5.2.4 龐加萊猜想
5.2.5 二維球面
5.2.6 三維球面
5.3 要跳入，還是跳出
5.3.1 醒過來時
5.3.2 Eulerians
第6章 捕捉看不到的形狀
6.1 捕捉形狀
6.1.1 沉默的形狀
6.1.2 問題的形狀
6.1.3 發現
6.2 用群來捕捉形狀
6.2.1 以數為線索
6.2.2 線索是什麼
6.3 用自環來捕捉形狀
6.3.1 自環
6.3.2 自環上的同倫
6.3.3 同倫類
6.3.4 同倫群
6.4 掌握球面
6.4.1 自己家
6.4.2 一維球面的基本群
6.4.3 二維球面的基本群
6.4.4 三維球面的基本群
6.4.5 龐加萊猜想
6.5 被限制的形狀
6.5.1 確認條件
6.5.2 捕捉我所不知道的自己
第7章 微分方程的溫度
7.1 微分方程
7.1.1 音樂教室
7.1.2 教室
7.1.3 指數函數
7.1.4 三角函數
7.1.5 微分方程的目的
7.1.6 彈簧振動
7.2 牛頓冷卻定律
第8章 高斯絕妙定理
8.1 車站前
8.1.1 尤里
8.1.2 讓人驚訝的事
8.2 自己家
8.2.1 媽媽
8.2.2 罕有之物
8.3 圖書室
8.3.1 泰朵拉
8.3.2 理所當然的事
8.4 加庫拉
8.4.1 米爾嘉
8.4.2 傾聽
8.4.3 解題
8.4.4 高斯曲率
8.4.5 絕妙定理
8.4.6 齊性和各向同性
8.4.7 回禮
第9章 靈感與毅力
9.1 三角函數訓練
9.1.1 靈感與毅力
9.1.2 單位圓
9.1.3 正弦曲線
9.1.4 從旋轉矩陣到兩角和公式
9.1.5 從兩角和公式到積化和差公式
9.1.6 媽媽
9.2 合格判定模擬考
9.2.1 不要緊張
9.2.2 不要被騙
9.2.3 需要靈感還是毅力
9.3 看穿算式的形式
9.3.1 概率密度函數的研究
9.3.2 拉普拉斯積分的研究
9.4 傅里葉展開式
9.4.1 靈感
9.4.2 傅里葉展開式
9.4.3 超越毅力
9.4.4 超越靈感
第10章 龐加萊猜想
10.1 公開研討會
10.1.1 課程結束之後
10.1.2 午餐時間
10.2 龐加萊
10.2.1 形狀
10.2.2 龐加萊猜想
10.2.3 瑟斯頓的幾何化猜想
10.2.4 哈密頓的里奇流方程
10.3 數學家們
10.3.1 年表
10.3.2 菲爾茲獎
10.3.3 千禧年大獎難題
10.4 哈密頓
10.4.1 里奇流方程式
10.4.2 傅里葉的熱傳導方程
10.4.3 顛覆性的想法
10.4.4 哈密頓計劃
10.5 佩雷爾曼
10.5.1 佩雷爾曼的論文
10.5.2 再前進一步
10.6 傅里葉
10.6.1 傅里葉的時代
10.6.2 熱傳導方程
10.6.3 分離變數法
10.6.4 重疊積分
10.6.5 傅里葉積分
10.6.6 觀察類似的式子
10.6.7 回到里奇流方程
10.7 我們
10.7.1 從過去到未來
10.7.2 冬天來了
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