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數值計算基礎

作者：編者:張達治|責編:張中興//梁清//孫翠勤
出版社：科學
ISBN：9787030716415

出版日期：2022/03/01
裝幀：平裝
頁數：283

人民幣：RMB 69 元售價：元

內容大鋼

本書介紹了與大規模工程計算相關的經典數值計算方法的構造、理論及應用。內容包括非線性方程和方程組的數值解法、線性代數方程組數值解法、插值法與數值逼近、數值積分、矩陣特徵值計算、常微分方程數值解法等。同時，對數值計算方法的誤差分析、計算效率、收斂性、穩定性、適用範圍及優缺點也做了必要的分析與介紹。
本書可作為高等院校各類工科專業本科生、研究生和數學各專業本科生的教材或參考用書，也可供從事科學與工程計算的科研工作者參考。

作者介紹

編者:張達治|責編:張中興//梁清//孫翠勤

前言
緒論
  0.1  數值分析的特點
  0.2  數值計算的誤差
    0.2.1  誤差與有效數字
    0.2.2  數值運算的誤差估計
  0.3  避免誤差危害的原則
    0.3.1  要避免兩相近數相減
    0.3.2  防止大數「吃掉」小數
    0.3.3  減少計算次數
    0.3.4  避免使用不穩定的數值方法
第1章  非線性方程和方程組的數值解法
  1.1  二分法
  1.2  迭代法及其收斂性質
    1.2.1  收斂階
    1.2.2  計算效率
  1.3  單點迭代法——不動點迭代
    1.3.1  不動點迭代的幾何原理
    1.3.2  不動點迭代的收斂性
    1.3.3  不動點迭代的收斂階
  1.4  單點迭代法——Newton迭代法
    1.4.1  基於反函數Taylor展開的迭代法構造
    1.4.2  Newton迭代法
    1.4.3  簡化Newton迭代法與Newton下山法
  1.5  多點迭代法——割線法
    1.5.1  割線法
    1.5.2  虛位法
  1.6  重根上的迭代法
  1.7  迭代加速收斂的方法
  1.8  擬Newton法
    1.8.1  擬Newton法
    1.8.2  秩1的擬Newton法
  習題
第2章  線性代數方程組數值解法
  2.1  Gauss消元法
    2.1.1  Gauss消元法
    2.1.2  列選主元的Gauss消元法
    2.1.3  全主元Gauss消元法
    2.1.4  Gauss-Jordan消元法
  2.2  三角分解法
    2.2.1  Doolittle分解方法
    2.2.2  Crout分解方法
    2.2.3  Cholesky分解方法
    2.2.4  解三對角方程組的追趕法
  2.3  向量范數與矩陣范數
    2.3.1  向量范數
    2.3.2  矩陣范數
    2.3.3  有關定理
  2.4  矩陣的條件數與病態線性方程組
    2.4.1  誤差分析與矩陣的條件數

    2.4.2  病態線性方程組
  2.5  線性方程組的迭代解法
    2.5.1  迭代法的一般形式
    2.5.2  迭代法的收斂條件
    2.5.3  Jacobi迭代法
    2.5.4  Gauss-Seidel迭代法
    2.5.5  超鬆弛SOR迭代法
    2.5.6  迭代法收斂的其他判別方法
  2.6  共軛梯度法
    2.6.1  與方程組等價的變分問題
    2.6.2  最速下降法
    2.6.3  共軛梯度法
  習題
第3章  插值法與數值逼近
  3.1  多項式插值
    3.1.1  插值問題的提出
    3.1.2  多項式插值
    3.1.3  Lagrange插值公式
    3.1.4  Newton插值公式
    3.1.5  反插值
    3.1.6  插值公式的運用及其收斂性與數值計算穩定性
    3.1.7  Hermite插值與分段插值
  3.2  樣條插值
    3.2.1  引言
    3.2.2  基本概念
    3.2.3  三彎矩插值法
    3.2.4  三轉角插值法
  3.3  有理逼近
  3.4  最佳平方逼近
    3.4.1  正交多項式及其性質
    3.4.2  函數的最佳平方逼近
    3.4.3  曲線擬合的最小二乘逼近
    3.4.4  多項式最小二乘的光滑解
  3.5  周期函數逼近與快速Fourier變換
    3.5.1  周期函數的最佳平方逼近
    3.5.2  快速Fourier變換
  習題
第4章  數值積分
  4.1  數值積分的一般問題
    4.1.1  數值積分思想概述
    4.1.2  代數精度的概念
  4.2  Newton-Cotes求積公式
    4.2.1  Newton-Cotes求積公式的提出
    4.2.2  偶數階求積公式的代數精度
    4.2.3  復化求積法
  4.3  Romberg演算法
    4.3.1  梯形公式的遞推化
    4.3.2  Romberg公式
  4.4  Gauss求積公式
    4.4.1  Gauss點

    4.4.2  Gauss-Legendre公式
    4.4.3  Gauss公式的余項
    4.4.4  Gauss求積公式的穩定性
  4.5  帶權函數的Gauss求積公式
    4.5.1  數值求積公式和代數精度
    4.5.2  Gauss求積公式的求積係數和余項的選取
    4.5.3  無窮區間上的求積公式
    4.5.4  Gauss-Chebyshev求積公式
  4.6  復化Gauss求積公式
  4.7  振蕩函數的求積公式
  4.8  自適應積分方法
  4.9  多重積分求積公式
    4.9.1  蒙特卡羅方法
    4.9.2  余項的誤差分析
  習題
第5章  矩陣特徵值計算
  5.1  特徵值基本性質和估計
    5.1.1  特徵值問題及其性質
    5.1.2  特徵值估計
  5.2  冪法和反冪法
    5.2.1  冪法
    5.2.2  加速與收縮方法
    5.2.3  反冪法
  5.3  Jacobi方法
    5.3.1  旋轉變換
    5.3.2  Jacobi方法
  5.4  Householder方法
    5.4.1  Householder變換
    5.4.2  對稱三對角矩陣的特徵值計算
    5.4.3  特徵向量的計算
  5.5  LR和QR演算法
  習題
第6章  常微分方程數值解法
  6.1  引言
  6.2  Euler方法
    6.2.1  Taylor展開方法
    6.2.2  化導數為差商的方法
    6.2.3  數值積分方法
  6.3  Runge-Kutta法
    6.3.1  RK法的一般形式
    6.3.2  二級RK法
    6.3.3  四級RK法
    6.3.4  變步長的RK方法
  6.4  單步法的收斂性與相容性
  6.5  線性多步法
    6.5.1  線性多步法的一般形式
    6.5.2  線性多步法的逼近準則
    6.5.3  線性多步法階與係數的關係
    6.5.4  線性多步法的構造方法
  6.6  預測-校正方法

    6.6.1  基本思想
    6.6.2  基本方法
  6.7  線性多步法的收斂性和數值穩定性
    6.7.1  收斂性
    6.7.2  數值穩定性
  6.8  方程組和高階方程
    6.8.1  一階方程組
    6.8.2  化高階方程為一階方程組
  6.9  Stiff方程簡介
    6.9.1  Stiff方程
    6.9.2  A(α)-穩定，剛性穩定
  習題
參考文獻

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