目錄
第1章 算術
1.1 基本運演算法則
1.1.1 數
1.1.2 證明的方法
1.1.3 和與積
1.1.4 冪、根與對數
1.1.5 代數式
1.1.6 整有理式
1.1.7 有理式
1.1.8 無理式
1.2 有限級數
1.2.1 有限級數的定義
1.2.2 等差級數
1.2.3 等比級數
1.2.4 特殊的有限級數
1.2.5 均值
1.3 商業數學
1.3.1 利息或百分率的計算
1.3.2 複利的計算
1.3.3 分期付款的計算
1.3.4 年金的計算
1.3.5 折舊
1.4 不等式
1.4.1 純不等式
1.4.2 特殊不等式
1.4.3 線性不等式和二次不等式的解
1.5 複數
1.5.1 虛數和複數
1.5.2 幾何表示
1.5.3 複數的計算
1.6 代數方程和超越方程
1.6.1 把代數方程變換為正規形式
1.6.2 不高於四次的方程
1.6.3 n次方程
1.6.4 化超越方程為代數方程
第2章 函數
2.1 函數的概念
2.1.1 函數的定義
2.1.2 實函數的定義方法
2.1.3 某些類型的函數
2.1.4 函數的極限
2.1.5 函數的連續性
2.2 初等函數
2.2.1 代數函數
2.2.2 超越函數
2.2.3 複合函數
2.3 多項式
2.3.1 線性函數
2.3.2 二次多項式
2.3.3 三次多項式
2.3.4 n次多項式
2.3.5 n次拋物線
2.4 有理函數
2.4.1 特殊的分式線性函數（反比）
2.4.2 線性分式函數
2.4.3 第Ⅰ類三次曲線
2.4.4 第Ⅱ類三次曲線
2.4.5 第Ⅲ類三次曲線
2.4.6 倒數冪
2.5 無理函數
2.5.1 線性二項式的平方根
2.5.2 二次多項式的平方根
2.5.3 冪函數
2.6 指數函數和對數函數
2.6.1 指數函數
2.6.2 對數函數
2.6.3 誤差曲線
2.6.4 指數和
2.6.5 廣義誤差函數
2.6.6 冪函數與指數函數的乘積
2.7 三角函數（角函數）
2.7.1 基本概念
2.7.2 三角函數的重要公式
2.7.3 振動的描述
2.8 測圓或反三角函數
2.8.1 反三角函數的定義
2.8.2 約化為主值
2.8.3 主值間的關係
2.8.4 負角公式
2.8.5 arcsin x與arcsin y的和與差
2.8.6 arccos x與arccos y的和與差
2.8.7 arctan x與arctan y的和與差
2.8.8 arcsin x,arcos x及arctan x間的特殊關係
2.9 雙曲函數
2.9.1 雙曲函數的定義
2.9.2 雙曲函數的圖示
2.9.3 有關雙曲函數的重要公式
2.10 面積函數
2.10.1 定義
2.10.2 利用自然對數對面積函數的確定
2.10.3 不同面積函數間的關係
2.10.4 面積函數的和與差
2.10.5 負角公式
2.11 三階（三次）曲線
2.11.1 二分之三次拋物線
2.11.2 阿涅西箕舌線
2.11.3 笛卡兒葉形線
2.11.4 蔓葉線
2.11.5 環索線
2.12 四階（四次）曲線
15.3.2 使用傅里葉變換求解微分方程
15.4 Z變換
15.4.1 Z變換的性質
15.4.2 Z變換的應用
15.5 小波變換
15.5.1 信號
15.5.2 小波
15.5.3 小波變換
15.5.4 離散小波變換
15.5.5 加博變換
15.6 沃爾什函數
15.6.1 階躍函數
15.6.2 沃爾什函數系
第16章 概率論與數理統計
16.1 組合學
16.1.1 全排列
16.1.2 組合
16.1.3 排列
16.1.4 組合學公式集錦（表16.1）
16.2 概率論
16.2.1 事件、頻率和概率
16.2.2 隨機變數、分佈函數
16.2.3 離散分佈
16.2.4 連續分佈
16.2.5 大數定律、極限定理
16.2.6 隨機過程和隨機鏈
16.3 數理統計學
16.3.1 統計量函數或樣本函數
16.3.2 描述性統計學
16.3.3 重要檢驗
16.3.4 相關和回歸
16.3.5 蒙特卡羅方法
16.4 誤差驗算
16.4.1 測量誤差及其分佈
16.4.2 誤差傳播和誤差分析
第17章 動力系統與混沌
17.1 常微分方程與映射
17.1.1 動力系統
17.1.2 常微分方程的定性理論
17.1.3 離散動力系統
17.1.4 結構穩定性
17.2 吸引子的量化描述
17.2.1 吸引子上的概率測度
17.2.2 熵
17.2.3 李雅普諾夫指數
17.2.4 維數
17.2.5 奇異吸引子與混沌
17.2.6 一維映射的混沌
17.2.7 由時間序列重新構造的動力系統
17.3 分岔理論和通往混沌之路
17.3.1 莫爾斯-斯梅爾系統中的分岔
17.3.2 過渡到混沌
第18章 優化
18.1 線性規劃
18.1.1 問題的提法和幾何表達
18.1.2 線性規劃基本概念、規範形
18.1.3 單純形法
18.1.4 特殊線性規劃問題
18.2 非線性優化問題
18.2.1 問題的提法、理論基礎
18.2.2 特殊非線性優化問題
18.2.3 二次優化問題的解法
18.2.4 數值搜索程序
18.2.5 無約束問題的解法
18.2.6 演化策略
18.2.7 不等式類型約束下問題的梯度法
18.2.8 罰函數法和障礙函數法
18.2.9 割平面法
18.3 離散動態規劃
18.3.1 離散動態決策模型
18.3.2 離散決策模型的例子
18.3.3 貝爾曼泛函方程
18.3.4 貝爾曼最優性原理
18.3.5 貝爾曼泛函方程方法
18.3.6 泛函方程方法的應用例子
第19章 數值分析
19.1 數值求解單變數非線性方程
19.1.1 迭代法
19.1.2 多項式方程的解
19.2 方程組的數值解
19.2.1 線性方程組
19.2.2 非線性方程組
19.3 數值積分
19.3.1 一般求積公式
19.3.2 插值求積
19.3.3 高斯求積公式
19.3.4 龍貝格方法
19.4 常微分方程的近似積分
19.4.1 初值問題
19.4.2 邊值問題
19.5 偏微分方程的近似求解
19.5.1 差分法
19.5.2 用已知函數逼近
19.5.3 有限元方法（FEM）
19.6 插值、調整計算、調和分析
19.6.1 多項式插值
19.6.2 平均逼近
19.6.3 切比雪夫逼近
19.6.4 調和分析
19.7 曲線和曲面用樣條表示
19.7.1 三次樣條
19.7.2 雙三次樣條
19.7.3 曲線和曲面的伯恩斯坦-貝濟埃表示
19.8 使用電腦
19.8.1 內符號表示
19.8.2 電腦計算中的數值問題
19.8.3 數值方法圖書館
19.8.4 交互程序系統和電腦代數系統的應用
第20章 電腦代數系統——以Mathematica為例
20.1 引言
20.1.1 對電腦代數系統的簡要描述
20.2 Mathematica的重要結構要素
20.2.1 Mathematica的基本結構要素
20.2.2 Mathematica中數的類型
20.2.3 重要運算元
20.2.4 列表
20.2.5 作為列表的向量和矩陣
20.2.6 函數
20.2.7 模式
20.2.8 函數運算
20.2.9 程序設計
20.2.10 關於句法、信息、消息的補充
20.3 Mathematica的重要應用
20.3.1 對於代數表達式的操作
20.3.2 方程和方程組的解
20.3.3 線性方程組與本征值問題
20.3.4 微積分
20.4 用Mathematica繪圖
20.4.1 基本圖形元素
20.4.2 圖形基元
20.4.3 圖形選項
20.4.4 圖形表示的句法
20.4.5 二維曲線
20.4.6 參數形式曲線的繪圖
20.4.7 曲面和空間曲線的繪圖
第21章 表格
21.1 常用數學常數
21.2 重要自然常數
21.3 （公制）前綴表
21.4 國際物理單位制（SI單位）
21.5 重要級數展開
21.6 傅里葉級數
21.7 不定積分
21.7.1 有理函數積分
21.7.2 無理函數積分
21.7.3 三角函數積分
21.7.4 其他超越函數積分
21.8 定積分
21.8.1 含三角函數的定積分
21.8.2 含指數函數的定積分
21.8.3 含對數函數的定積分
21.8.4 含代數函數的定積分
21.9 橢圓積分
21.9.1 第一型（類）橢圓積分F（φ, k）, k=sinα
21.9.2 第二型（類）橢圓積分E（φ, k）, k=sinα
21.9.3 完全橢圓積分，k=sinaα
21.10 伽馬函數
21.11 貝塞爾函數（柱面函數）
21.12 第一類勒讓德多項式
21.13 拉普拉斯變換
21.14 傅里葉變換
21.14.1 傅里葉餘弦變換
21.14.2 傅里葉正弦變換
21.14.3 傅里葉變換
21.14.4 指數傅里葉變換
21.15 Z變換
21.16 泊松分佈
21.17 標準正態分佈
21.18 x2分佈
21.19 費希爾F分佈
21.20 學生t分佈
21.21 隨機數
參考文獻
數學符號
人名譯名對照表
索引
2.12.1 尼科梅德斯蚌線
2.12.2 一般蚌線
2.12.3 帕斯卡蝸線
2.12.4 心臟線
2.12.5 卡西尼曲線
2.12.6 雙紐線
2.13 擺線
2.13.1 常見（標準）擺線
2.13.2 長擺線與短擺線,或次擺線
2.13.3 外擺線
2.13.4 內擺線與星形線
2.13.5 長短幅外擺線與內擺線
2.14 螺線
2.14.1 阿基米德螺線
2.14.2 雙曲螺線
2.14.3 對數螺線
2.14.4 圓的漸伸線
2.14.5 迴旋螺線
2.15 各種其他曲線
2.15.1 懸鏈線
2.15.2 曳物線
2.16 經驗曲線的確定
2.16.1 步驟
2.16.2 實用的經驗公式
2.17 標度與坐標紙
2.17.1 標度
2.17.2 坐標紙
2.18 多元函數
2.18.1 定義及其表示
2.18.2 平面中的不同區域
2.18.3 極限
2.18.4 連續性
2.18.5 連續函數的性質
2.19 算圖法
2.19.1 算圖
2.19.2 網路算圖
2.19.3 貫線算圖
2.19.4 三個以上變數的網路算圖
第3章 幾何學
3.1 平面幾何學
3.1.1 基本概念
3.1.2 圓函數與雙曲函數的幾何定義
3.1.3 平面三角形
3.1.4 平面四邊形
3.1.5 平面上的多邊形
3.1.6 圓和有關的圖形
3.2 平面三角學
3.2.1 三角形
3.2.2 大地測量學應用
3.3 立體幾何學
3.3.1 空間中的直線與平面
3.3.2 稜角、隅角、立體角
3.3.3 多面體
3.3.4 由曲面所界的立體
3.4 球面三角學
3.4.1 球面幾何學的基本概念
3.4.2 球面三角形的基本性質
3.4.3 球面三角形的計算
3.5 向量代數與解析幾何學
3.5.1 向量代數
3.5.2 平面解析幾何
3.5.3 空間解析幾何
3.5.4 幾何變換和坐標變換
3.5.5 平面投影
3.6 微分幾何學
3.6.1 平面曲線
3.6.2 空間曲線
3.6.3 曲面
第4章 線性代數
4.1 矩陣
4.1.1 矩陣的概念
4.1.2 方陣
4.1.3 向量
4.1.4 矩陣的算術運算
4.1.5 矩陣的運演算法則
4.1.6 向量范數和矩陣范數
4.2 行列式
4.2.1 定義
4.2.2 行列式計演算法則
4.2.3 行列式的計算
4.3 張量
4.3.1 坐標系的變換
4.3.2 笛卡兒坐標下的張量
4.3.3 特殊性質的張量
4.3.4 曲線坐標系中的張量
4.3.5 偽張量
4.4 四元數及應用
4.4.1 四元數
4.4.2 R3中旋轉的表示
4.4.3 四元數的應用
4.5 線性方程組
4.5.1 線性系,選主元法
4.5.2 解線性方程組
4.5.3 超定線性方程組
4.6 矩陣特徵值問題
4.6.1 一般特徵值問題
4.6.2 特殊特徵值問題
4.6.3 奇異值分解
第5章 代數和離散數學
5.1 邏輯
5.1.1 命題演算
5.1.2 謂詞演算公式
5.2 集論
5.2.1 集合的概念、特殊集
5.2.2 集合運算
5.2.3 關係和映射
5.2.4 等價性和序關係
5.2.5 集合的基數
5.3 經典代數結構
5.3.1 運算
5.3.2 半群
5.3.3 群
5.3.4 群表示
5.3.5 群的應用
5.3.6 李群和李代數
5.3.7 環和域
5.3.8 向量空間
5.4 初等數論
5.4.1 整除性
5.4.2 線性丟番圖方程
5.4.3 同余和剩餘類
5.4.4 費馬定理、歐拉定理和威爾遜定理
5.4.5 素數檢驗
5.4.6 碼
5.5 保密學
5.5.1 保密學問題
5.5.2 密碼體制
5.5.3 數學基礎
5.5.4 密碼體制的安全
5.5.5 經典密碼分析方法
5.5.6 一次一密發射
5.5.7 公共密鑰方法
5.5.8 DES演算法（數據加密標準）
5.5.9 IDEA演算法（國際數據加密標準）
5.6 泛代數學
5.6.1 定義
5.6.2 同余關係、商代數
5.6.3 同態
5.6.4 同態定理
5.6.5 簇
5.6.6 項代數、自由代數
5.7 布爾代數和開關代數
5.7.1 定義
5.7.2 對偶原理
5.7.3 有限布爾代數
5.7.4 作為序關係的布爾代數
5.7.5 布爾函數、布爾表達式
5.7.6 正規形式
5.7.7 開關代數
5.8 圖論演算法
5.8.1 基本概念和記號
5.8.2 無向圖的遍歷
5.8.3 樹和生成樹
5.8.4 匹配
5.8.5 可平面圖
5.8.6 有向圖中的路
5.8.7 運輸網路
5.9 模糊邏輯
5.9.1 模糊邏輯的基本概念
5.9.2 模糊集的連接（聚合）
5.9.3 模糊值關係
5.9.4 模糊推理（近似推理）
5.9.5 逆模糊化方法
5.9.6 基於知識的模糊系統
第6章 微分學
6.1 一元函數的微分
6.1.1 微商
6.1.2 一元函數微分法則
6.1.3 高階導數
6.1.4 微分學基本定理
6.1.5 極值和拐點的確定
6.2 多元函數的微分
6.2.1 偏導數
6.2.2 全微分和高階微分
6.2.3 多元函數的微分法則
6.2.4 微分表達式中的變數代換與坐標變換
6.2.5 多元函數的極值
第7章 無窮級數
7.1 數列
7.1.1 數列的性質
7.1.2 數列的極限
7.2 數項級數
7.2.1 一般收斂定理
7.2.2 正項級數的審斂法
7.2.3 絕對收斂和條件收斂
7.2.4 某些特殊級數
7.2.5 余項估計
7.3 函數項級數
7.3.1 定義
7.3.2 一致收斂
7.3.3 冪級數
7.3.4 近似公式
7.3.5 漸近冪級數
7.4 傅里葉級數
7.4.1 三角和與傅里葉級數
7.4.2 對稱函數係數的確定
7.4.3 數值法對傅里葉係數的確定
7.4.4 傅里葉級數與傅里葉積分
7.4.5 關於表中某些傅里葉級數的注
第8章 積分學
8.1 不定積分
8.1.1 原函數或反導數
8.1.2 積分法則
8.1.3 有理函數的積分
8.1.4 無理函數的積分
8.1.5 三角函數的積分
8.1.6 超越函數的積分
8.2 定積分
8.2.1 基本概念、法則和定理
8.2.2 定積分的應用
8.2.3 廣義積分、斯蒂爾切斯積分與勒貝格積分
8.2.4 參數積分
8.2.5 由級數展開式進行積分、特殊非初等函數
8.3 線積分
8.3.1 第一類線積分
8.3.2 第二類線積分
8.3.3 一般類型的線積分
8.3.4 線積分與積分路徑無關
8.4 多重積分
8.4.1 二重積分
8.4.2 三重積分
8.5 曲面積分
8.5.1 第一類曲面積分
8.5.2 第二類曲面積分
8.5.3 一般類型的曲面積分
第9章 微分方程
9.1 常微分方程
9.1.1 一階微分方程
9.1.2 高階微分方程和微分方程組
9.1.3 邊值問題
9.2 偏微分方程
9.2.1 一階偏微分方程
9.2.2 二階線性偏微分方程
9.2.3 自然科學和工程學中的一些偏微分方程
9.2.4 薛定諤方程
9.2.5 非線性偏微分方程:孤子、周期模式和混沌
第10章 變分法
10.1 定義問題
10.2 歷史上的問題
10.2.1 等周問題
10.2.2 捷線問題
10.3 一個自變數的變分問題
10.3.1 簡單變分問題和極值曲線
10.3.2 變分法的歐拉微分方程
10.3.3 具有附加條件的變分問題
10.3.4 具有高階導數的變分問題
10.3.5 具有數個未知函數的變分問題
10.3.6 利用參數表達式的變分問題
10.4 多個自變數函數的變分問題
10.4.1 簡單變分問題
10.4.2 較一般的變分問題
10.5 變分問題的數值解
10.6 增補的問題
10.6.1 一階和二階變分
10.6.2 在物理學中的應用
第11章 線性積分方程
11.1 引論和分類
11.2 第二類弗雷德霍姆積分方程
11.2.1 具有退化核的積分方程
11.2.2 逐次逼近法、諾伊曼級數
11.2.3 弗雷德霍姆解法、弗雷德霍姆定理
11.2.4 第二類弗雷德霍姆積分方程的數值解法
11.3 第一類弗雷德霍姆積分方程
11.3.1 具有退化核的積分方程
11.3.2 分析的基礎
11.3.3 一個積分方程到一個線性方程組的約化
11.3.4 第一類齊次積分方程的解
11.3.5 對於一個給定核的兩個特殊的規範正交系的構造
11.3.6 迭代法
11.4 沃爾泰拉積分方程
11.4.1 理論基礎
11.4.2 通過微商得到的解
11.4.3 通過諾伊曼級數得到的第二類沃爾泰拉積分方程的解
11.4.4 卷積型沃爾泰拉積分方程
11.4.5 解第二類沃爾泰拉積分方程的數值方法
11.5 奇異積分方程
11.5.1 阿貝爾積分方程
11.5.2 有柯西核的奇異積分方程
第12章 泛函分析
12.1 向量空間
12.1.1 向量空間概念
12.1.2 線性和放射子集
12.1.3 線性無關元
12.1.4 凸子集和凸包
12.1.5 線性運算元和泛函
12.1.6 實向量空間的復化
12.1.7 有序向量空間
12.2 距離空間
12.2.1 距離空間
12.2.2 完備的距離空間
12.2.3 連續運算元
12.3 賦范空間
12.3.1 賦范空間概念
12.3.2 巴拿赫空間
12.3.3 序賦范空間
12.3.4 賦范代數
12.4 希爾伯特空間
12.4.1 希爾伯特空間概念
12.4.2 正交性
12.4.3 希爾伯特空間中的傅里葉級數
12.4.4 基的存在性、等距希爾伯特空間
12.5 連續線性運算元和泛函
12.5.1 線性運算元的有界性,范數和連續性
12.5.2 巴拿赫空間中的連續線性運算元
12.5.3 線性運算元譜理論初步
12.5.4 連續線性泛函
12.5.5 線性泛函的延拓
12.5.6 凸集的分離
12.5.7 第二伴隨空間和自反空間
12.6 賦范空間中的伴隨運算元
12.6.1 有界運算元的伴隨
12.6.2 無界運算元的伴隨
12.6.3 自伴運算元
12.7 緊集和緊運算元
12.7.1 賦范空間的緊子集
12.7.2 緊運算元
12.7.3 弗雷德霍姆擇一性
12.7.4 希爾伯特空間中的緊運算元
12.7.5 緊自伴運算元
12.8 非線性運算元
12.8.1 非線性運算元的例子
12.8.2 非線性運算元的可微性
12.8.3 牛頓方法
12.8.4 紹德爾不動點定理
12.8.5 勒雷-紹德爾理論
12.8.6 正非線性運算元
12.8.7 巴拿赫空間中的單調運算元
12.9 測度和勒貝格積分
12.9.1 集代數和測度
12.9.2 可測函數
12.9.3 積分
12.9.4 Lp空間
12.9.5 分佈
第13章 向量分析和向量場
13.1 向量場理論的基本概念
13.1.1 一個標量變數的向量函數
13.1.2 標量場
13.1.3 向量場
13.2 空間的微分運算元
13.2.1 方嚮導數和空間導數
13.2.2 一個標量場的梯度
13.2.3 向量梯度
13.2.4 向量場的散度
13.2.5 向量場的旋度
13.2.6 梯度運算元和拉普拉斯運算元
13.2.7 空間微分運算元的回顧
13.3 向量場中的積分
13.3.1 向量場中的線積分和位勢
13.3.2 面積分
13.3.3 積分定理
13.4 場的求值
13.4.1 純源場
13.4.2 純旋場或無散場
13.4.3 有點狀源的向量場
13.4.4 場的疊加
13.5 向量場理論的微分方程
13.5.1 拉普拉斯微分方程
13.5.2 泊松微分方程
第14章 函數論
14.1 複變函數
14.1.1 連續性、可微性
14.1.2 解析函數
14.1.3 共形映射
14.2 複平面中的積分
14.2.1 定積分和不定積分
14.2.2 柯西積分定理
14.2.3 柯西積分公式
14.3 解析函數的冪級數展開
14.3.1 復項級數的收斂性
14.3.2 泰勒級數
14.3.3 解析延拓原理
14.3.4 洛朗展開式
14.3.5 孤立奇點和留數定理
14.4 用復積分計算實積分
14.4.1 柯西積分定理的應用
14.4.2 留數定理的應用
14.4.3 若爾當引理的應用
14.5 代數函數和初等超越函數
14.5.1 代數函數
14.5.2 初等超越函數
14.5.3 曲線用復形式的描述
14.6 橢圓函數
14.6.1 與橢圓積分的關係
14.6.2 雅可比函數
14.6.3 μ函數
14.6.4 魏爾斯特拉斯函數
第15章 積分變換
15.1 積分變換的概念
15.1.1 積分變換的一般定義
15.1.2 特殊的積分變換
15.1.3 逆變換
15.1.4 積分變換的線性性質
15.1.5 多變數函數的積分變換
15.1.6 積分變換的應用
15.2 拉普拉斯變換
15.2.1 拉普拉斯變換的性質
15.2.2 到原始空間的逆變換
15.2.3 使用拉普拉斯變換求解微分方程
15.3 傅里葉變換
15.3.1 傅里葉變換的性質
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